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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildungen
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Lineare Abbildungen: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 18.05.2010
Autor: monstre123

Aufgabe
Wir betrachten die linearen Abbildungen [mm] \alpha:\IR^{2}\to\IR^{3} [/mm] und [mm] \beta:\IR^{3}\to\IR [/mm] mit
[mm] \alpha(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1},3x_{1}-x_{2})^{T} [/mm]  , [mm] \beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}. [/mm]

Bestimmen die zu [mm] \alpha,\beta [/mm] und [mm] \beta\circ\alpha [/mm] zugehörigen Matrizen.
Wie hängen diese Matrizen zusammen?

Hallo,

ich bräuchte einen Ansatz.

Danke.

        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Di 18.05.2010
Autor: fred97


> Wir betrachten die linearen Abbildungen
> [mm]\alpha:\IR^{2}\to\IR^{3}[/mm] und [mm]\beta:\IR^{3}\to\IR[/mm] mit
> [mm]\alpha(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1},3x_{1}-x_{2})^{T}[/mm]  ,
> [mm]\beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}.[/mm]
>  
> Bestimmen die zu [mm]\alpha,\beta[/mm] und [mm]\beta\circ\alpha[/mm]
> zugehörigen Matrizen.
> Wie hängen diese Matrizen zusammen?
>  Hallo,
>  
> ich bräuchte einen Ansatz.

Es ist [mm] $\alpha(1,0) [/mm] = [mm] (0,1,3)^T$ [/mm] und [mm] $\alpha(0,1) [/mm] = [mm] (1,0,-1)^T$ [/mm]

Damit sist die zu [mm] \alpha [/mm] geh. Matrix:

          [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1} [/mm]

So jetzt Du. Bestimme die Matrix von [mm] \beta [/mm]

FRED

>  
> Danke.


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Bezug
Lineare Abbildungen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Di 18.05.2010
Autor: monstre123

So, jetzt zu [mm] \beta [/mm] :

[mm] \beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1} [/mm]

[mm] \beta(1,0,0)=-1 [/mm]
[mm] \beta(0,1,0)=1 [/mm]
[mm] \beta(0,0,1)=1 [/mm]

--> [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }=\beta [/mm]

richtig?

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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Di 18.05.2010
Autor: Kroni

Hi,

wenn du das ganze jetzt noch als transponierte Matrix hinschreibst, also [mm] $\beta [/mm] = [mm] \left(-1,1,1\right)$, [/mm] dann passt es. Denn du bildest ja vom [mm] $\mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^1$ [/mm] ab, d.h. du willst deine darstellende Matrix mit einem Vektor aus dem [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] multiplizieren.
Wenn diese jetzt, wie deine vom Typ [mm] $3\times [/mm] 1$ ist, dann muesstest du mit einem $1 [mm] \times [/mm] n$ Vektor multiplizieren, damit die Matrizenmultiplikation definiert ist. Da du aber mit einer [mm] $3\times [/mm] 1$ Matrix (bzw was man dann auch Vektor nennt) multiplizieren magst, sollte deine Matrix eben, damit du in den [mm] $\mathbbm{R}^1=\mathbbm{R}$ [/mm] abbilden kannst, vom Typ [mm] $1\times [/mm] 3$ sein, denn [mm] $(1\times [/mm] 3) [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \times [/mm] 1) = 1 [mm] \times [/mm] 1$

Aber du meintest das richtige, ist halt dann nur die Definition der Matrix, die man ja bestimmen soll, dass diese von der Form $1 [mm] \times [/mm] 3$ sein sollte, damit man mit einem Vektor [mm] $\vec{y} [/mm] = [mm] \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3}$ [/mm] mult. kann.

LG

Kroni

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Lineare Abbildungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 18.05.2010
Autor: monstre123

wie kann ich jetzt [mm] \beta\circ\alpha [/mm] heraus bekommen? ich habe nämlich eine [mm] 3x2(\beta) [/mm] und eine [mm] 1x3(\alpha) [/mm] Matrix.

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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Di 18.05.2010
Autor: Kroni

Hi,

die darstellende Matrix von [mm] $\beta$ [/mm] ist doch eine $1 [mm] \times [/mm] 3 $ Matrix (das ist doch ein Zeilenvektor), die von [mm] $\alpha$ [/mm] ist eine $3 [mm] \times [/mm] 2 $ Matrix, d.h. [mm] $\beta \circ \alpha$ [/mm] ist eine $(1 [mm] \times [/mm] 3 ) [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \times [/mm] 2) = 1 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix, d.h. sie geht vom [mm] $\mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] da ja auch [mm] $\alpha:\; \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^3$ [/mm] und [mm] $\beta: \; \mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] d.h. [mm] $\beta \circ \alpha: \; \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] also muss das eine $1 [mm] \times [/mm] 2 $ Matrix sein, wie es ja auch ist, denn was ist denn

[mm] $\beta \circ \alpha [/mm] = (-1,1,1) [mm] \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}$? [/mm]

LG

Kroni

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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Fr 21.05.2010
Autor: monstre123

Hallo,

ich habe jetzt folgendes gemacht [mm] \beta\circ\alpha= [/mm] (-1,1,1) [mm] \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}= [/mm] (4, -2)

die frage ist noch: wie hängen die matrizen zusammen? was soll man darauf antworten? ich denke, dass diese matrizen insofern zusammenhängen, dass man die matrizen kreuzen kann und aus einer 1-dimensionalen und 3-dimensionalen Matrix eine 2-dimensionale Abbildung erhält. liegt die vermutung richtig?

Bezug
                                                        
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Fr 21.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> ich habe jetzt folgendes gemacht [mm]\beta\circ\alpha=[/mm] (-1,1,1)
> [mm]\cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}=[/mm] (4, -2)
>  
> die frage ist noch: wie hängen die matrizen zusammen?

Hallo,

komische Frage irgendwie...

Ich glaube, daß man antworten soll, daß die zu [mm] \beta\circ\alpha [/mm] gehörende Matrix das Produkt derer zu [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ist.

Ich könnte mir vorstellen, daß Deine Chefs vielleicht noch gerne gesehen hätten, daß Du schreibst

[mm] \beta\circ\alpha(x_1, x_2)=\vektor{...\\...}, [/mm]

daraus die Matrix findest, und sie dann damit erfreust, daß Du sagst: sie ist das Produkt.

>  was
> soll man darauf antworten? ich denke, dass diese matrizen
> insofern zusammenhängen, dass man die matrizen kreuzen
> kann

Bei Tierrassen kann ich mir das vorstellen. Wie man Matrizen kreuzt, weiß ich nicht.

> und aus einer 1-dimensionalen und 3-dimensionalen
> Matrix eine 2-dimensionale Abbildung erhält.

Man multipliziert eine [mm] 1\times [/mm] 3-Matrix mit einer [mm] 3\times [/mm] 2- Matrix und erhält eine [mm] 1\times [/mm] 2 Matrix, welche eine Abbildung aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] darstellt.

Gruß v. Angela


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