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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mi 22.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in,
Ich habe schwierigkeiten bei diese Aufgabe, Brauche Hilfe danke.
Sei V ein K-Vektorraum und W [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum. Wir setzen
[mm] W^{0}:={f \in V^{ \*} mit f(w)=0} [/mm] für alle w [mm] \in [/mm] W und definieren folgende Abbildungen.
[mm] \delta:V^{ \*}/W^{0} \exists f+W^{0} \to f_{|W} \in W^{ \*}
[/mm]
dises existiert zeichen [mm] (\exists) [/mm] ist für Element Zeichen, anderesrum.
und
[mm] \pi:W^{0} \exists f\to \pi(f) \in (V/W)^{ \*}
[/mm]
wobei [mm] \pi(f)(v+W)=f(v) [/mm] für alle f [mm] \in W^{0}.
[/mm]
Zeigen Sie dass die Abbildungengen wohl definiert ist, und dad beide Vektorraumisomorphismen sind.
Ich hoffe jemand kann mir schnell helfen Danke.
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Hallo!
Also, zuerst eine kurze TeX Erläuterung: das Zeichen, das Du suchst bekommst Du mit dem Kommando "ni" (natürlich mit Backslash davor) - das ist "in" rückwärts gelesen.  Also so: [mm] $\ni$
[/mm]
Zur Frage: ist Dir klar, wie das mit den Faktorräumen funktioniert? Also wenn $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum und $v + U [mm] \in [/mm] V / U$ eine Äquivalenzklasse, dann gilt $v + U = w + U [mm] \iff [/mm] v - w [mm] \in [/mm] U$.
Also zur Aufgabe. Ich zeige das für [mm] $\delta$, [/mm] der andere Teil bleibt Dir überlassen - das geht ähnlich.
Nochmal die Definition: $W$ ist ein Unterraum von $V$ und [mm] $W^0$ [/mm] ist ein Unterraum von [mm] $V^{ *}$, [/mm] der sogenannte "Annulator" von $W$, also die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $K$, die auf $W$ konstant 0 sind.
Die Abbildung war wie folgt definiert: [mm] $\delta(f [/mm] + [mm] W^0) [/mm] = [mm] f|_W$.
[/mm]
Zunächst Wohldefiniertheit: seien $f + [mm] W^0 [/mm] = g + [mm] W^0 \in V^{ *} [/mm] / [mm] W^0$, [/mm] also $f$ und $g$ sind zwei Repräsentanten der gleichen Klasse oder anders ausgedrückt: $f - g [mm] \in W^0$.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $f|_W [/mm] = [mm] g|_W$. [/mm] Es gilt aber doch für alle $w [mm] \in [/mm] W$, wegen $f - g [mm] \in W^0$: [/mm] $(f - g)(w) = 0$, also $f(w) = g(w)$. Und damit stimmen $f$ und $g$ auf $W$ überein, was zu zeigen war.
Also ist [mm] $\delta$ [/mm] eine wohldefinierte lineare Abbildung - nun zeigen wir, dass es ein Isomorphismus ist.
Injektivität: Sei $f + [mm] W^0 \in V^{ *} [/mm] / [mm] W^0$ [/mm] mit [mm] $\delta(f [/mm] + [mm] W^0) [/mm] = [mm] f|_W [/mm] = 0$. Dann müssen wir zeigen: $f + [mm] W^0 [/mm] = 0$ in [mm] $V^{ *} [/mm] / [mm] W^0$ [/mm] bzw. $f [mm] \in W^0$. [/mm] Aber das ist klar, denn [mm] $f|_W [/mm] = 0$ heisst gerade, dass $f(w) = 0$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ gilt, also $f [mm] \in W^0$.
[/mm]
Surjektivität: Das ist ganz einfach. Sei $g [mm] \in W^{ *}$ [/mm] beliebig. Man kann $g$ zu einem $f [mm] \in V^{ *}$ [/mm] fortsetzen, also es gibt ein solches $f$ mit [mm] $f|_W [/mm] = g$. Das ist klar, denn man kann eine Basis von $W$ zu einer Basis von $V$ ergänzen und dann $f$ auf der ergänzten Basis beliebig definieren.
Dann ist nach Definition [mm] $\delta(f [/mm] + [mm] W^0) [/mm] = g$, also ist [mm] $\delta$ [/mm] surjektiv.
Alles klar? Die Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] überlasse ich Dir.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Dankeschön
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