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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Sei [mm] {x_{i}} [/mm] eine Familie von Vektoren eines Vektorraums V. Sei [mm] x_{0} \not= [/mm] 0.
a) Sei [mm] {x_{i}} [/mm] linear abhängig. Dann existiert k [mm] \ge [/mm] 1, so dass [mm] x_{k}= \summe_{i=0}^{k-1} \lambda_{i} x_{i} [/mm] für [mm] \lambda_{i} \in [/mm] K, i=0,...,k-1.
b) Deduzieren Sie aus Teil a), dass gilt: Ist [mm] x_{i} \not\in [/mm] <( [mm] x_{0},...,x_{i-1} [/mm] )> für alle i [mm] \ge [/mm] 1, dann ist die Menge [mm] x_{i} [/mm] / i [mm] \in \IN [/mm] linear unabhängig. |
hallo allerseits,
mir wurde diese Frage gestellt, bzw. diese Aussagen soll ich beweisen. Doch ich weiß nicht, wie ich mich rantasten soll. Ich benötige dringend Hilfe... Wisst ihr vielleicht, wie man vorangehen soll?
ich danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo melek!
> Sei [mm]{x_{i}}[/mm] eine Familie von Vektoren eines Vektorraums V.
> Sei [mm]x_{0} \not=[/mm] 0.
> a) Sei [mm]{x_{i}}[/mm] linear abhängig. Dann existiert k [mm]\ge[/mm] 1, so
> dass [mm]x_{k}= \summe_{i=0}^{k-1} \lambda_{i} x_{i}[/mm] für
> [mm]\lambda_{i} \in[/mm] K, i=0,...,k-1.
Was bedeutet es denn, wenn [mm] $\{ x_i \}_{i\in\IN}$ [/mm] linear abhaengig ist? Schreib doch mal die Definition auf!
> b) Deduzieren Sie aus Teil a), dass gilt: Ist [mm]x_{i} \not\in[/mm]
> <( [mm]x_{0},...,x_{i-1}[/mm] )> für alle i [mm]\ge[/mm] 1, dann ist die
> Menge [mm]x_{i}[/mm] / i [mm]\in \IN[/mm] linear unabhängig.
Nimm doch mal an, die Menge sei linear abhaengig. Was gilt dann nach (a)? Wie bekommst du einen Widerspruch zu [mm] $x_i \not\in \langle x_0, \dots, x_{i-1} \rangle$ [/mm] fuer alle $i [mm] \ge [/mm] 1$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
hi,
also die Definition ist ja klar für die Menge der Vektoren. bis jetzt hab ich aber immer nur gezeigt, ob Vektoren linear abhängig sind oder nicht? Wenn sie linear abhängig sind, muss es [mm] \lambda_{i} [/mm] geben, die ungleich 0 sind, damit am Ende (also meiner Meinung nach für [mm] x_{k}) [/mm] null rauskommt. Aber ich versteh es gerade so, dass [mm] x_{k} [/mm] nicht null sein muss??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo melek,
> hi,
> also die Definition ist ja klar für die Menge der
> Vektoren. bis jetzt hab ich aber immer nur gezeigt, ob
> Vektoren linear abhängig sind oder nicht? Wenn sie linear
> abhängig sind, muss es [mm]\lambda_{i}[/mm] geben, die ungleich 0
> sind,
Genau die brauchen wir jetzt.
> damit am Ende (also meiner Meinung nach für [mm]x_{k})[/mm]
> null rauskommt. Aber ich versteh es gerade so, dass [mm]x_{k}[/mm]
> nicht null sein muss??
Das k aus der Aufgabe hat jetzt erstmal nichts mit der Anzahl der Vektoren zu tun. Sagen wir mal, [mm] (x_i) [/mm] besteht aus n Vektoren [mm] x_1,...x_n. [/mm] Wie Du schon richtig bemerkt hast, besitzt jetzt die Gleichung [mm]\lambda_1x_1 + ... + \lambda_nx_x=0[/mm] eine Lösung, wo ein oder mehrere [mm] \lambda \not= [/mm] 0 sind.
Jetzt wähle mal k als den größten Index, für den das der Fall ist. Was folgt dann??
Gruß
piet
P.S.: Das funktioniert so natürlich nur für endliche Familien bzw. endlichdimensionale Vektorräume. Für unendliche Familien in unendlichdimensionalen Vektorräumen trifft m.E. die Aussage so nicht zu. Oder kann mich da jemand eines besseren belehren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
hmmm...? weiß nicht??? kannst du es mir erklären bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hmmm...? weiß nicht??? kannst du es mir erklären bitte?
Du hast geschrieben:
> also die Definition ist ja klar für die Menge der Vektoren.
Wieso schreibst du die Definition nicht einfach mal hier hin? Tu das doch einfach mal. Und schonmal gleich einen Schritt weiter: Such dir das groesste $k$, so dass [mm] $\lambda_k \neq [/mm] 0$ ist. Und teile die Gleichung durch [mm] $\lambda_k$. [/mm] Was steht da jetzt?
Mal generell: Wenn man dir ein paar Gegenfragen stellt, die dich etwas in Richtung Loesung leiten sollen wenn du sie beantwortest, warum tust du das denn nicht bzw. schreibst deine Antworten darauf nicht hier hin? Denkst du, wir koennen hellsehen und erraten, wo genau du scheiterst oder was du nicht verstehst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 05.06.2006 | | Autor: | melek |
hallo noch mal.. also ich hab es nun so aufgeschrieben..
da [mm] x_{i} [/mm] aus n Vektoren besteht, also aus [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] kann ich aus der Voraussetzung diese Gleichung aufgrund der linearen Abhängigkeit hinschreiben:
[mm] \lambda_{1} x_{1}+...+ \lambda_{n} x_{n} [/mm] =0, wo [mm] \lambda \not= [/mm] 0.
wenn ich nun das größte k wähle, steht doch da:
[mm] \lambda_{1} x_{1}+...+ \lambda_{n} x_{n} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] ??
da fehlt doch ein Schritt, denn so bin ich doch schon am Ende???
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> hallo noch mal.. also ich hab es nun so aufgeschrieben..
> da [mm]x_{i}[/mm] aus n Vektoren besteht, also aus [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]
> kann ich aus der Voraussetzung diese Gleichung aufgrund der
> linearen Abhängigkeit hinschreiben:
> [mm]\lambda_{1} x_{1}+...+ \lambda_{n} x_{n}[/mm] =0, wo [mm]\lambda \not=[/mm]
> 0.
Nein, nicht alle [mm] \lambda [/mm] sind [mm] \not={}0. [/mm] Es gibt unter den [mm] \lambda [/mm] nur welche die [mm] \not={}0
[/mm]
> wenn ich nun das größte k wähle, steht doch da:
> [mm]\lambda_{1} x_{1}+...+ \lambda_{n} x_{n}[/mm] = [mm]x_{k}[/mm] ??
Was ist denn mit [mm] \lambda_k [/mm] auf der rechten Seite passiert? Und warum steht auf der linken Seite auch [mm] \lambda_kx_k?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 04.06.2006 | | Autor: | baskolii |
> P.S.: Das funktioniert so natürlich nur für endliche
> Familien bzw. endlichdimensionale Vektorräume. Für
> unendliche Familien in unendlichdimensionalen Vektorräumen
> trifft m.E. die Aussage so nicht zu. Oder kann mich da
> jemand eines besseren belehren?
Meinst du deine Aussage oder die der Aufgabe?
Im unendlich dimensionalen heißt doch linear abhängig, dass es eine endliche Teilmenge gibt, die linear abhängig ist. Dann muss man diese Teilmenge nur entsprechend wählen und dann läuft der Beweis so wie du ihn vorgeschlagen hast. Denke ich jedenfalls, mit der Unendlichkeit ist das so eine Sache 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:41 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
hallo..
ja ich bin hier immer noch und zweifle an der Aufgabe.. ich komme nicht weiter, kannst du mir weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Di 06.06.2006 | | Autor: | piet.t |
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> Meinst du deine Aussage oder die der Aufgabe?
Ich war mir da bei beidem nicht so ganz sicher...
> Im unendlich dimensionalen heißt doch linear abhängig,
> dass es eine endliche Teilmenge gibt, die linear abhängig
> ist. Dann muss man diese Teilmenge nur entsprechend wählen
> und dann läuft der Beweis so wie du ihn vorgeschlagen hast.
Das war mir jetzt so nicht mehr geläufig, naja die LA-Vorlesung ist eben doch schon ein Weilchen her.....
> Denke ich jedenfalls, mit der Unendlichkeit ist das so eine
> Sache
>
Auf jeden Fall vielen DAnk, dass Ihr mich da wieder auf die Linie gebracht habt!(gilt natürlich auch für Felix, aber ich hab mich jetzt halt mal an den Artikel gehängt....)
Gruß
piet
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