Lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 12.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich hätte da mal eine Verständnisfrage:
Also gegeben habe ich einige Vektoren:
i.) [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
ii.) [mm] \vektor{1 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1}, \vektor{2 \\ -3}
[/mm]
iii.) [mm] \vektor{1 \\ -1}, \vektor{-1 \\ 3}
[/mm]
Also ich weiß, dass i.) linear unabhängig und ii.), iii.) linear abhängig sind.
Nun versuche ich das gerade noch zu verstehen ;)
Ich wollte nun lineare (un)abhängigkeit selber noch nachprüfen, indem ich die Spaltenvektoren als Matrix auffasse und dann mit Gauß umformen.
Wenn nun die Anzahl der Zeilen, die vom Nullvektor verschieden sind gleich der Anzahl der Vektoren, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Soweit schon mal gut.
Bei i.) gibt's ja nicht mehr viel umzuformen. Da trifft die Aussage dann wohl zu ;)
iii.) Ist ja nur die Addition der 1. Zeile zur 2., dann ergibt sich für die 2. Zeile der Nullvektor und die Vektoren sind linear abhängig.
Bleibt noch ii.)
Da habe ich die 1. Zeile zur 2. addiert und komme dann auf
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1 }
[/mm]
Weiter umformen kann ich ja auch nicht mehr. Nun würde ich sagen, dass die linear abhängig sind, weil die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen nicht gleich der Anzahl der Vektoren ist.
Soweit richtig?
Und: kann man eigenltich sofort sagen, dass die Vektoren linear abhängig sind, weil mehr Spalten als Zeilen vorhanden sind?!
Danke schonmal! :D
Lg,
Bernd
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heidiho.
also i) is ja klar, bei ii) stimm ich zwar mit dir überein, aber ich würde das mit hilfe von gauß/LGS begründen....
ich würde das so schreiben:
[mm] r*\pmat{ 1 \\ -1 } [/mm] + s * [mm] \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ 2 \\ -3 } [/mm] = 0
dann bekommst du durch auflösen s=a, t=3a und r=-8a (a [mm] \in [/mm] R)
somit hast du drei von null verschiedene koeffizienten gefunden, die den nullvektor bilden, woraus lineare abhängigkeit folgt...
bei ii) hab ich lin Unabhängigkeit, denn:
r* [mm] \pmat{ 1 \\ -1 } [/mm] + s* [mm] \pmat{ -1 \\ 3}=0
[/mm]
r-s=0
2s=0
somit folgt r=s=0
also lin unabhängig, wenn ich mich nich verrechnet haben sollte, hab das nur auf die schnelle gemacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 12.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Hallöchen! :)
Hab mich bei iii.) verschrieben: es müsste
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -3 & 3 }
[/mm]
Und so wie du das bei 2 schreibst kenn ich das mal gar nicht ;(
Was hast du denn da genau gemacht? Könntest du mir das evtl. nochmal zeigen?
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ok, dann ist iii) eindeutig lin abhängig, denn der zweite Vektor ist ja eindeutig ein Vielfaches (um genau zu sein das "-1-fache") des ersten Vektors. und lin abhängig heißt ja unter anderem, dass man den einen Vektor durch den anderen Vektor ausdrücken kann. Da das bei mehr als zwei Vektoren etwas umständlich zu zeigen ist (finde ich), kann man auch die folgende Defintion der lin. Unabhängigkeit verwenden (das is die, die ich oben verwendet habe):
Ein endliches Vektorsystem (v1,...,vn) ist linear abhängig, wenn es a1,..,an [mm] \in [/mm] K gibt, die nicht alle gleich null sind , so dass a1v1+...+anvn=0(Nullvektor)
sooo, einfacher gesagt, wenn du die vielfache der vektoren miteinander addierst muss null rauskommen, dann folgt lin abhängig
also machen wir das mall bei deiner aufgabe: (a1,...=r,s,t)
r* [mm] \pmat{ 1 \\ -1 } [/mm] + s* [mm] \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + t* [mm] \pmat{ 2 \\ -3 }=0
[/mm]
r + 2s + 2t=0
-r + s - 3t=0
r + 2s + 2t=0 (zweite zur ersten addiert)
3s - t=0
dann hab ich s frei gewählt mit a
daraus folgt t=3a und schließlich r= -8a, dass sind unsere a1,a2 und a3 (r,s,t) die verschieden von null sind für a ungleich null und somit is der spass abhängig. kannst ja für a noch ne zahl einsetzen und ein konkretes beispiel ausrechenen....
hoffe ich habe ein wenig weitergeholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Di 12.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Das hat mir auf jeden Fall sehr weitergeholfen! Vielen lieben Dank! :D
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 12.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Bleibt noch ii.)
> Da habe ich die 1. Zeile zur 2. addiert und komme dann
> auf
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1 }[/mm]
> Weiter umformen kann
> ich ja auch nicht mehr. Nun würde ich sagen, dass die
> linear abhängig sind, weil die Anzahl der von 0
> verschiedenen Zeilen nicht gleich der Anzahl der Vektoren
> ist.
> Soweit richtig?
ja, es ist richtig, aber nicht schön
Wenn du Zeilenumformungen machen willst, sollten die ZEILEN auch die Vektoren sein, die du auf lineare Unabhängigkeit überprüfst,also lieber die Matrix:
[mm] $\pmat{1&-1\\2&1\\2&3}$ [/mm] nehmen und umformen.
(denn durch die zeilenumformungen machst du ja gerade linearkombinationen der Vektoren und wenn dadurch irgendwo eine Nullzeile entsteht hast du eine nicht-triviale Kombination der Vektoren gefunden !)
so : ohne dich jetzt verwirren zu wollen:
Du MUSST das aber nicht so machen - das ist nur eine sinnvolle Sache um genau zu sehen, was man da macht.
(z.B. wegen Spaltenrang=Zeilenrang und deiner "merkregel" bzgl der anzahl der vektoren muss man das nicht so machen)
> Und: kann man eigenltich sofort sagen, dass die Vektoren
> linear abhängig sind, weil mehr Spalten als Zeilen
> vorhanden sind?!
Ja, denn angenommen du hast eine nxm Matrix mit n<m , dann kannst du höchstens n Nicht-Nullzeilen haben, aber du hast ja mehr ursprüngliche Vektoren (nämlich m), also sind sie nach deiner merkregel sofort linear abhängig.
[angenommen du hast m Vektoren aus dem [mm] $\IR^n$, [/mm] also können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein, wenn du also m>n hast, weißt du automatisch, dass sie linear abhängig sind]
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 12.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Also das werde ich mir auf jeden Fall mal zu Gemüte führen!
Dank dir!
Gruß
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