Lineare Abhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei V ein K-Vektorraum. Gegeben sind die folgenden Mengen Tk [mm] \subset [/mm] V . Untersuchen
Sie die Mengen auf lineare Unabhängigkeit bzw. lineare Abhängigkeit.
1) T3 := {(1 − i, 2i), (2,−2 + 2i)} im [mm] \IC-Vektorraum [/mm] V := [mm] \IC^2
[/mm]
2.) T4 := {(1 − i, 2i), (2,−2 + 2i)} im [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V := [mm] \IC^2 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Hallo
Generell kann ich Mengen auf lin. Abhängigkeit untersuchen, Probleme bereitet mir allerdings die Vektorraum-Angabe.
Besteht der Unterschied darin, dass bei 1.) die Skalare komplex sein sollen und bei 2. reell?
Ich habe bei 1.) bereits versucht (2,−2 + 2i) durch (1 − i, 2i) darzustellen, was jedoch nicht ging. soll ich jetzt noch versuchen (1 − i, 2i) durch (2,−2 + 2i) darzustellen?
Komme ich schneller zur Lösung, wenn ich versuche den Nullvektor darzustellen? dann habe ich allerdings 4 Unbekannte!
danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei V ein K-Vektorraum. Gegeben sind die folgenden Mengen
> Tk [mm]\subset[/mm] V . Untersuchen
> Sie die Mengen auf lineare Unabhängigkeit bzw. lineare
> Abhängigkeit.
> 1) T3 := {(1 − i, 2i), (2,−2 + 2i)} im [mm]\IC-Vektorraum[/mm]
> V := [mm]\IC^2[/mm]
> 2.) T4 := {(1 − i, 2i), (2,−2 + 2i)} im [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> V := [mm]\IC^2[/mm]
> Hallo
>
>
> Generell kann ich Mengen auf lin. Abhängigkeit
> untersuchen, Probleme bereitet mir allerdings die
> Vektorraum-Angabe.
> Besteht der Unterschied darin, dass bei 1.) die Skalare
> komplex sein sollen und bei 2. reell?
ja, einmmal kannst Du bei der skalaren Multiplikation Skalare aus [mm] $\IC$ [/mm] zulassen, bei der anderen Aufgabe dürfen sie nur aus [mm] $\IR$ [/mm] sein.
Ich gebe Dir mal ein ganz einfaches Beispiel:
Wir betrachten zunächst [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\blue{\IC}$-Vektorraum. [/mm] Die Menge [mm] $\{1,\,i\}$ [/mm] ist linear abhängig. Denn:
Sind [mm] $\lambda,\mu \in \blue{\IC}$ [/mm] mit
[mm] $$(\star)\;\;\;\lambda *1+\mu*i=0\,,$$ [/mm]
so folgt daraus nicht notwendig [mm] $\lambda=\mu=0\,;$ [/mm] denn [mm] $(\star)$ [/mm] ist für [mm] $\lambda=i \in \blue{\IC}$ [/mm] und [mm] $\mu=-1 \in \blue{\IC}$ [/mm] dann erfüllt.
Betrachtet man [mm] $\{1,i\} \subset \IC$, [/mm] wobei [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\green{\IR}$-Vektorraum [/mm] aufgefasst werde, so ist diese Menge linear unabhängig. Sind nämlich [mm] $\lambda, \mu \in \green{\IR}$ [/mm] so, dass [mm] $(\star)$ [/mm] gilt, so gibt es zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $\mu=0$. [/mm] Dann würde sofort auch [mm] $\lambda=0$ [/mm] folgen.
2. Fall: [mm] $\mu \not=0\,.$ [/mm] Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] wäre dann [mm] $\mu*i=-\lambda,$ [/mm] und weil [mm] $\lambda \in \green{\IR}$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] Körper ist, folgte nach Division durch $0 [mm] \not=\mu \in \IR\,,$ [/mm] dass auch $i [mm] \in \IR$ [/mm] gelten würde. Das kann aber nicht sein (es ist $i [mm] \in \IC \setminus \IR$). [/mm] Also kann dieser Fall nie eintreten.
Konsequenz: [mm] $(\star)$ [/mm] liefert hier [mm] $\lambda=\mu=0$ [/mm] und damit die lineare Unabhängigkeit der Menge [mm] $\{1,i\}\,,$ [/mm] wenn diese Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] ist - wobei allerdings betont sei, dass [mm] $\IC$ [/mm] hier [mm] $\green{\IR}$-VR [/mm] sei.
Die Untersuchung, ob eine Teilmenge eines [mm] $\IK$-Vektorraums [/mm] linear abhängig oder unabhängig ist, hängt also durchaus auch vom betrachteten Körper ab.
> Ich habe bei 1.) bereits versucht (2,−2 + 2i) durch (1
> − i, 2i) darzustellen, was jedoch nicht ging. soll ich
> jetzt noch versuchen (1 − i, 2i) durch (2,−2 + 2i)
> darzustellen?
> Komme ich schneller zur Lösung, wenn ich versuche den
> Nullvektor darzustellen? dann habe ich allerdings 4
> Unbekannte!
Das ist ja (bei endlichen Mengen jedenfalls sicherlich) äquivalent. Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn es (mind.) einen Vektor der Menge gibt, der sich als nichttriviale Linearkombination der anderen Vektoren darstellen läßt.
Bei 1.) kannst Du ansetzen (ich nenne die Skalaren jetzt einfach $r,s [mm] \in \IC$):
[/mm]
Seien $r,s [mm] \in \IC$ [/mm] mit
[mm] $$(I)\;\;r*(1-i,2i)+s*(2,-2+2i)=(0,0)\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun gar nicht weiterweißt, dann schreibst Du halt mit [mm] $r_1=\text{Re}(r)\,,$ $r_2=\text{Im}(r),\,$ $s_1=\text{Re}(s)$ [/mm] und [mm] $s_2=\text{Im}(s)$ [/mm] dann $(I)$ um zu
[mm] $$(II)\;\;(r_1+ir_2)*(1-i,2i)+(s_1+is_2)*(2,-2+2i)=(0,0)$$
[/mm]
und erhältst damit dann (durch Sortieren nach Real- und Imaginärteil) ein "reelles" Gleichungssystem in den 4 reellen Unbekannten [mm] $r_1,\,r_2,\,s_1$ [/mm] und [mm] $s_2\,.$ [/mm]
Ich persönlich würde hier einfach mal ein wenig "genauer hingucken":
Tipp:
Es gilt
[mm] $$(1+i)*(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2\,,$$
[/mm]
und daher berechne mal
[mm] $$\underbrace{(1+i)}_{\in \blue{\IC}}*(1-i,\,2i)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Zur Übung würde ich Dir trotzdem mal empfehlen, dass reelle Gleichungssystem mit den [mm] $4\,$ [/mm] reellen Variablen [mm] $r_1,\,r_2,\,s_1$ [/mm] und [mm] $s_2\,,$ [/mm] was durch $(II)$ entstanden ist, zu lösen. Insbesondere solltest Du erkennen, dass dieses eine nichttriviale Lösung mit [mm] $r_1=r_2=1,\,$ $s_1=-1$ [/mm] und [mm] $s_2=0$ [/mm] hat.
P.P.S.:
Dass [mm] $T4\,$ [/mm] linear unabhängig ist, kannst Du Dir auch so überlegen:
Angenommen, [mm] $T4\,$ [/mm] wäre linear abhängig. Dann existiert ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass
$$r*(1-i, 2i)=(2,-2 + [mm] 2i),\,$$
[/mm]
insbesondere muss also $r*2i=-2+2i$ gelten. Das ist eine Gleichung in [mm] $\IC,\,$ [/mm] die bzgl. der Variablen $r [mm] \in \IR \subset \IC$ [/mm] eine eindeutige Lösung hat. Multipliziere $r*2i=-2+2i$ mal mit [mm] $-\frac{1}{2}*i\,,$ [/mm] und schau', ob diese Lösung $r [mm] \in \IC$ [/mm] auch wirklich $r [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt.
Gruß,
Marcel
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Hallo MArcel. Danke für deine Antwort.
ICh habe einmal versucht das Gleichungssystem zu lösen, aber ich komme irgendwann nicht mehr weiter. Hier ist mein Ansatz nach Multiplikation:
(I) [mm] (r_{1} [/mm] + [mm] r_{2}) [/mm] + (- [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2}) [/mm] ) = 2 + 0i
(II) [mm] 2(r_{1} [/mm] - [mm] r_{2}) [/mm] = -2 + 2i
aus (1) kann ich eigentlich schon schließen, dass [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] sein muss und dass die Lösung für [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] 1 sein muss.
Aber wie gehts dann weiter? Einsetzen in (II) bringt nichts...
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> ICh habe einmal versucht das Gleichungssystem zu lösen,
Hallo,
welches denn? Bist Du bei [mm] T_3 [/mm] oder bei [mm] T_4.
[/mm]
Bei welcher
Es wäre für nützlich, das schwarz auf weiß zu sehen.
>
> (I) [mm](r_{1}[/mm] + [mm]r_{2})[/mm] + (- [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2})[/mm] ) = 2 + 0i
> (II) [mm]2(r_{1}[/mm] - [mm]r_{2})[/mm] = -2 + 2i
>
> aus (1) kann ich eigentlich schon schließen, dass [mm]r_{1}[/mm] =
> [mm]r_{2}[/mm] sein muss
Ja?
ich kann aus (I) nur [mm] r_2=1 [/mm] gewinnen.
Durch Einsetzen in (II) bekommt man [mm] r_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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wenn der Imaginärteil 0 sein soll, dann muss [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] sein. Wenn der Realteil 2 sein soll und [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] sein soll, dann folgt für beide Lösung 1. Argumentiere ich falsch?
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> wenn der Imaginärteil 0 sein soll, dann muss [mm]r_{1}[/mm] = [mm]r_{2}[/mm]
> sein. Wenn der Realteil 2 sein soll und [mm]r_{1}[/mm] = [mm]r_{2}[/mm] sein
> soll, dann folgt für beide Lösung 1. Argumentiere ich
> falsch?
Hallo,
Du hast das GS
> (I) $ [mm] (r_{1} [/mm] $ + $ [mm] r_{2}) [/mm] $ + (- $ [mm] r_{1} [/mm] $ + $ [mm] r_{2}) [/mm] $ ) = 2 + 0i
> (II) $ [mm] 2(r_{1} [/mm] $ - $ [mm] r_{2}) [/mm] $ = -2 + 2i
<==>
(I) [mm] 2r_2=2
[/mm]
(II) [mm] r_1-r_2=-1+i
[/mm]
Aus (I) erhalte ich [mm] r_2 [/mm] =1, daraus ergibt sich
[mm] r_1-1=-1+i [/mm] ==> [mm] r_2=i.
[/mm]
Aber irgendwie ist mir im Moment nicht klar, wie Du überhaupt zu obigem Gleichungssystem kommst.
Du betrachtest doch
[mm] r_1\vektor{1-i\\2i}+r_2\vektor{2\\-2+2i}=\vektor{0\\0} [/mm] für [mm] r_1, r_2\in \IC, [/mm] oder nicht?
Gruß v. Angela
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Nach dem Darstellungssatz, kann ich bei linerarer Abhängigkeit einen Vektor durch den bzw. die anderen Vektoren darstellen.
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> Nach dem Darstellungssatz, kann ich bei linerarer
> Abhängigkeit einen Vektor durch den bzw. die anderen
> Vektoren darstellen.
Hallo,
warum nicht mal konkret?
Arbeitest Du vielleicht mit
[mm] r\vektor{1-i\\2i} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-2+2i}, r\in \IC,
[/mm]
also
[mm] (r_1+ir_2)\vektor{1-i\\2i} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-2+2i} [/mm] , [mm] r_1, r_2\in \IR [/mm] ?
(Das kann man doch sagen, das ist ja nix Peinliches...)
Das ergibt
[mm] r_1-ir_1 +ir_2 +r_2=(r_1+r_2)+(r_2-r_1)i=2
[/mm]
[mm] 2ir_1 -2r_2=-2+2i.
[/mm]
Das sieht ziemlich anders aus als das, was Du zuvor dastehen hattest.
Da deine [mm] r_i [/mm] hier relle zahlen sind, kommst Du via Koeffizientenvergleich zum Ziel.
Gruß v. Angela
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achso, ganz vergessen zu schreiben. Ich bin bei T 3
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Wenn ich versuchen will eine Linearkombination zur Darstellung des Nullvektors zu finden, erhalte ich Nach Multiplikation der komplexen Zahlen folgendes System:
(I) [mm] (r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] ) + (- [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2}) [/mm] i + 2 [mm] s_{1} [/mm] +2 [mm] s_{2} [/mm] i = 0
(II) - 2 [mm] r_{2} [/mm] +2 [mm] r_{1} [/mm] i + (- 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2}) [/mm] + (2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2}) [/mm] i = 0
ich finde überhaupt keinen Anfang, wie ich jetzt weitermachen kann..vie Unbekannte in 2 Gleichungen...
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> Wenn ich versuchen will eine Linearkombination zur
> Darstellung des Nullvektors zu finden, erhalte ich Nach
> Multiplikation der komplexen Zahlen folgendes System:
Hallo,
warum "nach Multiplikation"? Ist#s so mühsam, daß einmal komplett aufzuschreiben?
Ich kontrolliere Dein GS nicht, sondern sage Dir, wie man jetzt weitermacht.
>
> (I) [mm](r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] ) + (- [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2})[/mm] i + 2 [mm]s_{1}[/mm] +2
> [mm]s_{2}[/mm] i = 0
> (II) - 2 [mm]r_{2}[/mm] +2 [mm]r_{1}[/mm] i + (- 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2})[/mm] + (2
> [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2})[/mm] i = 0
>
> ich finde überhaupt keinen Anfang, wie ich jetzt
> weitermachen kann..vie Unbekannte in 2 Gleichungen...
Du schreibst beiden Gleichungen jetzt so, daß Du jeweils (...)*1 +(...)*i=0 dastehen hast.
Daraus ergibt sich, daß sämtlich (...) gleich 0 sind, denn in den (...) steht ja nur Reelles.
Du erhältst also ein homogenes lineares GS mit 4 Gleichungen und 4 (reellen) Variablen.
Gruß v. Angela
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ok, das Prinzip ist mir jetzt klar. Ich habe nun folgendes System aufgestellt. Auf Grund der Lösung von Marcel [mm] (r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] = 1 ; [mm] s_{1} [/mm] = -1 ; [mm] s_{2} [/mm] = 0 ) kann ich davon ausgehen, dass es auch simmt:
(I) [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
(II) - [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
(III) - 2 [mm] r_{2} [/mm] - 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
(IIII) 2 [mm] r_{1} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
wenn ich nun rechne (II) + (I) erhalte ich :
(I) [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
(II) 2 [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
(III) -2 [mm] r_{2} [/mm] - 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
(IIII) 2 [mm] r_{1} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
dann fällt bei (II) + (III) die Gleichung (II) weg:
(I) [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
(III) -2 [mm] r_{2} [/mm] - 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
(IIII) 2 [mm] r_{1} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] - 2 [mm] s_{2} [/mm] = 0
dann kürze ich mal:
(I) [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
(III) [mm] r_{2} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = 0
(IIII) [mm] r_{1} [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] + 2 [mm] s_{1} [/mm] = 0
nach (IIII) - (I) fällt (IIII) weg.
so komme ich nicht zum Ziel. Was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, das Prinzip ist mir jetzt klar. Ich habe nun folgendes
> System aufgestellt. Auf Grund der Lösung von Marcel [mm](r_{1}[/mm]
> = [mm]r_{2}[/mm] = 1 ; [mm]s_{1}[/mm] = -1 ; [mm]s_{2}[/mm] = 0 ) kann ich davon
> ausgehen, dass es auch simmt:
>
> (I) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
> (II) - [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
> (III) - 2 [mm]r_{2}[/mm] - 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
> (IIII) 2 [mm]r_{1}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
>
> wenn ich nun rechne (II) + (I) erhalte ich :
>
> (I) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
> (II) 2 [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
> (III) -2 [mm]r_{2}[/mm] - 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
> (IIII) 2 [mm]r_{1}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
>
> dann fällt bei (II) + (III) die Gleichung (II) weg:
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> (I) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
> (III) -2 [mm]r_{2}[/mm] - 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
> (IIII) 2 [mm]r_{1}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
>
> dann kürze ich mal:
>
> (I) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
> (III) [mm]r_{2}[/mm] + [mm]s_{1}[/mm] + [mm]s_{2}[/mm] = 0
> (IIII) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
>
> nach (IIII) - (I) fällt (IIII) weg.
>
> so komme ich nicht zum Ziel. Was mache ich falsch?
erstmal generell: Ich würde Dir empfehlen, hier nicht die Gleichungen "willkürlich" zu addieren, sondern mithilfe des Gauß-Algorithmus, also z.B. so:
1. Schritt (anstatt (IIII) schreibe ich (IV)):
Ich schreibe zunächst (I) ab und nenne diese Gleichung nun (I'). Die Gleichungen (II'), (III') und (IV') erhalten wir wie folgt:
(II'): Bilde eine nichtriviale Linearkombination von (I) und (II) so, dass [mm] $r_1$ [/mm] verschwindet. (Oben z.B. (II')=0*(I)+(II).)
(III'): Bilde eine nichtriviale Linearkombination von (I) und (III) so, dass [mm] $r_1$ [/mm] verschwindet.
(IV'): Bilde eine nichtriviale Linearkombination von (I) und (IV) so, dass [mm] $r_1$ [/mm] verschwindet. (Oben z.B. (IV')=2*(I)-(IV).)
Nun schreibe die 4 Gleichungen (I') bis (IV') auf.
2. Schritt:
(I'') ist gerade (I') und (II'') ist gerade (II'). Die Gleichungen (III'') und (IV'') entstehen dann so:
(III''): Bilde eine nichtriviale Linearkombination von (II') und (III') so, dass [mm] $r_2$ [/mm] verschwindet.
(IV'''): Bilde eine nichtriviale Linearkombination von (II') und (IV') so, dass [mm] $r_2$ [/mm] verschwindet.
etc.
Damit bringst Du das gegebene Gleichungssystem bzgl. der Variablen [mm] $r_1,r_2,s_1,s_2$ [/mm] (in dieser Reihenfolge) in eine äquivalente "Diagonalform". Dabei können durchaus auch "Nullzeilen" (d.h. Gleichungen der Form [mm] $0*r_1+0*r_2+0*s_1+0*s_2=0$) [/mm] auftauchen.
Dass Du besser so vorgehst, hat einen einfachen Grund:
Es ist gut, so strukturiert vorzugehen, damit Du nicht durcheinander kommst, welche Gleichung Du bei welchem Schritt schon verwendet hast und welche "Linearkombination" der Gleichungen noch benutzt werden dürfen/sollen. Ansonsten kann es passieren, dass die nicht aufpasst und nach einigen Umformungen einfach nur zu [mm] $0=0\,$ [/mm] gelangst und durcheinanderkommst...
Jetzt zu Deiner Frage:
Rechnerisch ist nichts falsch. Aber am Ende passt Du nicht mehr genau auf:
Jedenfalls ist es hier so (wenn man Deine Rechnung genauer analysiert, dann erkennt man das!):
Die Gleichungen
(I) [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] = 0
(II) - [mm]r_{1}[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] + 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
(III) - 2 [mm]r_{2}[/mm] - 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
(IIII) 2 [mm]r_{1}[/mm] + 2 [mm]s_{1}[/mm] - 2 [mm]s_{2}[/mm] = 0
sind äquivalent zu den beiden Gleichungen:
[mm] $$(a)\;\;\; r_1+r_2+2s_1=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$(b)\;\;\;r_2+s_1+s_2=0\,.$$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $$\left\{\vektor{r_1\\r_2\\s_1\\s_2}\in \IR^4:\;\;\text{Die Gleichungen }(a) \text{ und }(b) \text{ gelten.}\right\}=\left\{\vektor{-r_2+2r_2+2s_2\\r_2\\-r_2-s_2\\s_2}:\;\;r_2,\;s_2 \in \IR\right\}=\left\{\vektor{r_2+2s_2\\r_2\\-r_2-s_2\\s_2}:\;\;r_2,\;s_2 \in \IR\right\}$$
[/mm]
[mm] $$=\left\{r_2*\vektor{1\\1\\-1\\0}+s_2*\vektor{2\\0\\-1\\1}:\;\;r_2,\,s_2 \in \IR\right\}=\left\{p*\vektor{1\\1\\-1\\0}+q*\vektor{2\\0\\-1\\1}:\;\;p,\,q \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
Das heißt, die Gleichungen (I)-(IV) haben genau die Lösungen [mm] $\vektor{r_1\\r_2\\s_1\\s_2}$ [/mm] mit:
[mm] $\vektor{r_1\\r_2\\s_1\\s_2}$ [/mm] ist ein Element der Menge [mm] $\left\{p*\vektor{1\\1\\-1\\0}+q*\vektor{2\\0\\-1\\1}:\;\;p,\,q \in \IR\right\}\,.$
[/mm]
Das Gleichungssystem (I) bis (IV) in den reellen Variablen [mm] $r_1,\,r_2,\,s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] hat also unendlich viele Lösungen.
Bspe.:
[mm] $\bullet$ [/mm] Für $p=1 [mm] \in \IR$ [/mm] und $q=0 [mm] \in \IR$ [/mm] erhält man z.B., dass die Gleichungen (I) bis (IV) durch [mm] $r_1=1=r_2,\,$ $s_1=-1$ [/mm] und [mm] $s_2=0$ [/mm] gelöst werden.
[mm] $\bullet$ [/mm] Für $p=1 [mm] \in \IR$ [/mm] und $q=3 [mm] \in \IR$ [/mm] folgt
[mm] $r_1=1*1+3*2=7,\,$ $r_2=1*1+3*0=1,\,$ $s_1=1*(-1)+3*(-1)=-4$ [/mm] und [mm] $s_2=1*0+3*1=3\,.$
[/mm]
Bemerkung:
Wegen der vorhergehenden Rechnungen zeigt das letzte Beispiel also insbesondere, dass wohl
[mm] $$(7+i*1)(1-i,\,2i)+(-4+i*3)(2,\,-2+2i)=(0,\,0)$$
[/mm]
gelten sollte.
Wir rechnen das zur Kontrolle auch nochmal nach:
[mm] $$(7+i*1)(1-i,\,2i)+(-4+i*3)(2,\,-2+2i)=(7-7i+i-i^2-8+6i,\;14i+2i^2+8-8i-6i+6i^2)\underset{i^2=-1}{=}(0,\,0)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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