Lineare Abhängigkeit bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 23.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
Hallo!
Ich habe eine Verständnisfrage zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren. Man kann sie ja als Spalten einer Matrix A schreiben und mit Hilfe des homogenen Gleichungssystems Ax=0 herrausfinden, welche Vektoren voneinander linear abhängig sind.
Wenn ich z.B. die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -1 \\ - 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] als Spalten einer Matrix schreibe und sie auf Zeilenstufenform bringe bekomme ich 2 Nullzeilen. Also weiß ich die Vektoren sind voneinander linear abhängig.
Aber welche???? Wenn ich das jetzt als Erzeugendensystem gegeben hätte,welchen Vektor müsste ich rausschmeißen, damit daraus eine Basis wird.
Ok das Beispiel ist etwas simpel, aber ich mein jetzt vor allem bei Vektoren, bei denen man es nicht auf den ersten Blick erkennt.
Es wär echt lieb, wenn sich jemand kurz Zeit nehmen könnte mir das zu erklären! Vielen Dank im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 23.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
> Hallo!
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> Ich habe eine Verständnisfrage zur Überprüfung der linearen
> Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren. Man kann sie ja
> als Spalten einer Matrix A schreiben und mit Hilfe des
> homogenen Gleichungssystems Ax=0 herrausfinden, welche
> Vektoren voneinander linear abhängig sind.
> Wenn ich z.B. die Vektoren x[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1},y \vektor{-1 \\ -1 \\ - 1}[/mm]
> und z[mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] als Spalten einer Matrix schreibe
> und sie auf Zeilenstufenform bringe bekomme ich 2
> Nullzeilen. Also weiß ich die Vektoren sind voneinander
warum 2?
> linear abhängig.
> Aber welche???? Wenn ich das jetzt als Erzeugendensystem
> gegeben hätte,welchen Vektor müsste ich rausschmeißen,
> damit daraus eine Basis wird.
> Ok das Beispiel ist etwas simpel, aber ich mein jetzt vor
> allem bei Vektoren, bei denen man es nicht auf den ersten
> Blick erkennt.
>
> Es wär echt lieb, wenn sich jemand kurz Zeit nehmen könnte
> mir das zu erklären! Vielen Dank im Vorraus!
ich habe die vektoren x,y und z genand
(-1)x = y ist klar
aber es gibt kein a,b [mm] \in \IR [/mm] mit
a*x + b*y = z
anderes beispiel
[mm] x=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, y=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, z=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und [mm] v=\vektor{3 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
x, y und z sind linear unabhängig
da [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
sich mit gauss in die form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
bringen lässt
es existieren a,b,c [mm] \in \IN [/mm] mit
a*x + b*y + c*z = v
also ist v von x,y und z linear abhängig
da [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 5}
[/mm]
sich mit gauss in die form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c}
[/mm]
bringen lässt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 23.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
Hallo Thoma,
danke für die Erklärung :)
Leider habe ich es aber immer noch nicht so ganz verstanden :(
Ich nehm mal nen Beispiel aus ner alten Übungsaufgabe von uns:
Ich habe [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -2}, \vektor{3 \\ 2 \\ -6}, \vektor{2 \\ 1 \\ -4}> [/mm] als Erzeugendensystem eines Vektorraums U gegeben. Ich möchte eine Basis dieses VR bestimmen und daher möglichst schnell ermitteln ob die drei Vektoren linear unabhängig sind. Ich vermute, dass ein Vektor linear abhängig ist von den anderen.
Wie muss ich vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mi 24.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
mit dem gaussalgorytmus
also
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ -2 & -6 & -4}
[/mm]
die erste zeile zweimal auf die dritte zeile adiert ergibt
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
also ist ein vektor linear abhängig
oder, um besser nachvolziehen zu können
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -4}
[/mm]
die erste zeile *(-2) auf die dritte zeile adiert ergibt
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
...
(darauf musst du selber kommen)
[mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist ein basis von U
im prinzip ganz einfach.
du schreibst die vektoren als zeile in eine matrix. bringst sie in zeilen-stuffen-form und kannst dann die basis ablesen
beispiel für zeilen-stuffenform:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Blueevan |
Ah super das ist ja ganz einfach :)
Danke dir und gute Nacht!
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