Lineare Abhängigkeit mit LGS < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Sa 01.11.2008 | | Autor: | cktwo |
| Aufgabe | Bestimme, ob folgende Vektoren linear abhängig sind:
[mm] \vec{a}\vektor{5 \\ 12 \\ 3} \vec{b}\vektor{8 \\ 9 \\ 6} \vec{c} \vektor{3 \\ 11 \\ 9} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
ich hatte vorher noch nie Vektorrechnung und jetzt im Studium kommt es auf einmal... :-(
Diese Aufgabe habe ich selbst konstruiert, da ich sehen wollte, wie es aussieht, wenn man ein LGS für linear unabhängige Vektoren löst.
Ich hab mich schon auf einigen Pages umgesehen und folgenden Lösungsansatz gefunden:
- LGS bilden und gleich 0 setzen.
- mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren auflösen
- Wenn min. eine Variable einen Wert [mm] \not=0 [/mm] annimmt, sind die Vektoren linear abhängig.
Ich habe dann das LGS gebildet und das Gaußsche Eliminationsverfahren angewendet.
5a + 12b + 3c = 0
8a + 9b + 6c = 0 | 5* II - 8* I
-3a+ 11b + 9c = 0 | 5*III + 3*I
5a + 12b + 3c = 0
- 51b + 6c = 0
91b + 36c = 0
Nun habe ich nach c aufgelöst (c = [mm] -\bruch{91}{36}, [/mm] weiter eingesetzt und b = [mm] -\bruch{91}{306} [/mm] errechnet und damit a= [mm] -\bruch{455}{204}
[/mm]
Jetzt sind alle Variablen ungleich 0, was eigentlich auf linear abhängige Vektoren schließen lässt. Das dürften die aber eigentlich gar nicht sein...
Über Hilfe wäre ich super dankbar :D
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Hallo CK2 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimme, ob folgende Vektoren linear abhängig sind:
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> [mm]\vec{a}\vektor{5 \\ 12 \\ 3} \vec{b}\vektor{8 \\ 9 \\ 6} \vec{c} \vektor{3 \\ 11 \\ 9}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute,
>
> ich hatte vorher noch nie Vektorrechnung und jetzt im
> Studium kommt es auf einmal... :-(
>
> Diese Aufgabe habe ich selbst konstruiert, da ich sehen
> wollte, wie es aussieht, wenn man ein LGS für linear
> unabhängige Vektoren löst.
>
> Ich hab mich schon auf einigen Pages umgesehen und
> folgenden Lösungsansatz gefunden:
>
> - LGS bilden und gleich 0 setzen.
> - mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren auflösen
> - Wenn min. eine Variable einen Wert [mm]\not=0[/mm] annimmt, sind
> die Vektoren linear abhängig.
>
>
> Ich habe dann das LGS gebildet und das Gaußsche
> Eliminationsverfahren angewendet.
>
> 5a + 12b + 3c = 0
> 8a + 9b + 6c = 0 | 5* II - 8* I
> -3a+ 11b + 9c = 0 | 5*III + 3*I
Hier ist es zum einen sehr ungünstig, dass du hier dieselben Bezeichnungen wie für die Vektoren benutzt, zum anderen scheint mir entweder im 1. Eintrag des Vektors [mm] $\vec{c}$ [/mm] ein Vorzeichenfehler oder hier im Gleichungssystem
Drittens sind die Gleichungen "verdreht"
Du musst doch die übliche LK des Nullvektors betrachten [mm] $\lambda\cdot{}\vec{a}+\mu\cdot{}\vec{b}+\nu\cdot{}\vec{c}=\vec{0}$
[/mm]
Also [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{5\\12\\3}+\mu\cdot{}\vektor{8\\9\\6}+\nu\cdot{}\vektor{\red{\pm} 3\\11\\9}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Hier die Frage nach dem Vorzeichen ...
Das liefert das LGS
(I) [mm] $5\lambda+8\mu\red{\pm}3\nu=0$
[/mm]
(II) [mm] $12\lambda+9\mu+11\nu=0$
[/mm]
(III) [mm] $3\lambda+6\mu+9\nu=0$
[/mm]
Oder in Matrixschreibweise (einfacher zu verarzten) [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] bzw.
[mm] $\pmat{5&8&\pm 3\\12&9&11\\3&6&9}\cdot{}\vektor{\lambda\\\mu\\\nu}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Also stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] $(A\mid \vec{0})$ [/mm] auf:
[mm] $\pmat{5&8&\pm 3&\mid&0\\12&9&11&\mid&0\\3&6&9&\mid&0}$
[/mm]
Bringe das nochmal ordentlich in Zeilenstufenform, ich komme auf die Schnelle darauf, dass die Vektoren linear unabhängig sind
>
> 5a + 12b + 3c = 0
> - 51b + 6c = 0
> 91b + 36c = 0
>
> Nun habe ich nach c aufgelöst (c = [mm]-\bruch{91}{36},[/mm] weiter
> eingesetzt und b = [mm]-\bruch{91}{306}[/mm] errechnet und damit a=
> [mm]-\bruch{455}{204}[/mm]
>
> Jetzt sind alle Variablen ungleich 0, was eigentlich auf
> linear abhängige Vektoren schließen lässt. Das dürften die
> aber eigentlich gar nicht sein...
>
> Über Hilfe wäre ich super dankbar :D
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 01.11.2008 | | Autor: | cktwo |
Danke schonmal für die Antwort.
Ja, das stimmt wohl, dass es ungünstig ist... Ich werde jetzt [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] verwenden.
Was meinst du denn mit: Zitat Anfang:"
Drittens sind die Gleichungen "verdreht"
Du musst doch die übliche LK des Nullvektors betrachten $ [mm] \lambda\cdot{}\vec{a}+\mu\cdot{}\vec{b}+\nu\cdot{}\vec{c}=\vec{0} [/mm] $"
Zitat Ende. (Sorry, die Zitierfunktion wolte nicht so wie ich)
Leider hatte ich ja vorher noch keine Vektoren und deshalb nicht so viel Ahnung von den Schreibweisen.
Ich hab jedenfalls das LGS nochmal in Zeilenstufenform gebracht, und anscheinend hab ich vorher irgendwo einen Fehler. Jetzt also hier die richtige Version:
[mm] \pmat{ 5 & 12 & 3 & | & 0\\0 & -51 & 6 & | & 0 \\ 0&0&2382 & | & 0}
[/mm]
dann wird [mm] \nu [/mm] = 0, und wenn man es einsetzt auch [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] (hatte ich vorher noch als a,b und c).
Also sind diese Vektoren linear unabhängig. Damit wäre die Aufgabe gelöst...
Dann habe ich bei Aufgabe 2 eine Aufgabe eingetragen, wo die Vektoren voneinander linear abhängig sein sollten.
Hier mein Lösungsweg:
[mm] \pmat{ 3 & 9 & 12 & | & 0 \\ 7 & 21 & 28 & | & 0 \\ 1 & 3 & 4 & | & 0} [/mm] | 3*II - 7*1 | 3*III - 1 * I
dann ergibt sich:
[mm] \pmat{ 3 & 9 & 1 & | &0 \\0 & 0 & 0 & | &0\\ 0 & 0 & 0 & | &0}
[/mm]
Jetzt frage ich mich, wie ich danach weiter vorgehen soll... [mm] \nu [/mm] und [mm] \mu [/mm] sollten ja dann = 0 sein, oder? dann muss [mm] \lambda [/mm] ja auch =0 werden, wenn man das LGS lösen will? Und das, obwohl die Vektoren linear abhängig sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 01.11.2008 | | Autor: | martin2 |
> Bestimme, ob folgende Vektoren linear abhängig sind:
>
> [mm]\vec{a} \vektor{5 \\ 12 \\ 3} \vec{b} \vektor{8 \\ 9 \\ 6} \vec{c} \vektor{3 \\ 11 \\ 9}[/mm]
>
>
> 5a + 12b + 3c = 0
> 8a + 9b + 6c = 0 | 5* II - 8* I
> -3a+ 11b + 9c = 0 | 5*III + 3*I
ich korrigier das mal eben und erkläre dir damit was "verdreht" heisst.
[mm]\vec{a} = \vektor{5 \\ 12 \\ 3}, \vec{b} = \vektor{8 \\ 9 \\ 6}, \vec{c} = \vektor{3 \\ 11 \\ 9}[/mm]
ergibt bei
$ [mm] \lambda\cdot{}\vec{a}+\mu\cdot{}\vec{b}+\nu\cdot{}\vec{c}=\vec{0} [/mm] $
(ich nehme hier [mm] \lambda [/mm] und co aus dir schon bekanntem anlass)
das LGS
[mm] 5*\lambda+8*\mu+3*\nu=0
[/mm]
[mm] 12*\lambda+9*\mu+11*\nu=0
[/mm]
[mm] 3*\lambda+6*\mu+9*\nu=0
[/mm]
und nicht das was du geschrieben hast. du hast quasi den vektor [mm] \vec{a} [/mm] in eine zeile geschrieben aber im LGS sind die teile von [mm] \vec{a} [/mm] an erster stelle multipliziert mit [mm] \lambda
[/mm]
verstanden soweit?
und wenn du jetzt ein LGS der form
$ [mm] \pmat{ 3 & 9 & 1 & | &0 \\0 & 0 & 0 & | &0\\ 0 & 0 & 0 & | &0} [/mm] $
hast, überlege dir einfach mal was das heisst. [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] symbolisieren hier nich die unteren beiden zeilen, sondern sind die skalare mit denen du die 2. bzw 3. spalte multiplizierst..
wenn du das jetzt wieder als LK schreiben willst, so schreibe
[mm] \lambda*\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+\mu*\vektor{9 \\ 0 \\ 0}+\nu*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
oder auch als LGS
[mm] 3*\lambda+9*\mu+1*\nu=0
[/mm]
[mm] 0*\lambda+0*\mu+0*\nu=0
[/mm]
[mm] 0*\lambda+0*\mu+0*\nu=0
[/mm]
und da siehst du sofort dass es zwar nicht eine einzige lösung [mm] \not=0 [/mm] gibt, aber abhängig davon was du für [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] nimmst erhälst du immer ein anderes [mm] \lambda [/mm] .. du hast also lösungen ungleich 0.
eine wäre:
{-3,1,0}
kannst du aber auch allgemein schreiben indem du
[mm] \lambda [/mm] :=x
[mm] \mu [/mm] :=y
und die erste zeile des LGS umformst.. die anderen kannst du außer acht lassen da die unabhängig von den skalaren immer 0=0 geben.
also allgemeine Lösung
[mm] \nu [/mm] = [mm] -3*\lambda-9*\mu
[/mm]
[mm] \nu [/mm] = -3*x-9*y
also
L={x,y,-3*x-9*y}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 01.11.2008 | | Autor: | cktwo |
Oh Shit. Jetzt ist es mir auch aufgefallen... Kein Plan was mir da durch den Kopf ging :-S
Wie ich das in die Matrix gebracht habe, hätte das mit den Skalaren auch irgendwie gar keinen Sinn mehr.
Ist der Satz so richtig?
Wenn nach Ausführung des Gauß'schen Eliminationsverfahren mindestens ein Skalar [mm] (\lambda, \mu, \nu) \not= [/mm] 0 werden kann und $ [mm] \lambda\cdot{}\vec{a}+\mu\cdot{}\vec{b}+\nu\cdot{}\vec{c}=\vec{0} [/mm] $ trotzdem wahr wird, dann sind die Vektoren voneinander linear abhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 02.11.2008 | | Autor: | martin2 |
ja :)
lg martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 So 02.11.2008 | | Autor: | cktwo |
Super! Vielen Dank an alle. Dann kann ich mich jetzt daran machen die Ebenen zu lernen 
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