Lineare Abhängigkeit von Vekto < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 25.03.2007 | | Autor: | Haase |
| Aufgabe | Aufgabe:
a) Wer ist hier von wem linear abhängig oder nicht?
b) Welche Dimension hat der zugehörige Verktorraum? |
Guten Tag Allerseits,
ich mache gerade meine Mathehausaufgaben und die letzte Aufgabe bekomme ich nicht hin. Würde mich freuen wenn ihr mich unterstüzt.
4 Vektoren:
a=(4,-6,-14,-16)
b=(5,3,2,7)
c=(9,4,1,9)
d=(2,4,6,10)
Zu a)
Ich kenne die Vektorraumaxiome und kann zeigen das eine Abbildung anhand von f(x+y)=f(x)+f(y) & f(lamda x) = lamda f(x) linear ist.
Muss ich die einzelnden Vektoren auf einander Abbilden?
Zu b)
n = dim(V) darauf folgt 4 = dim(a,b,c,d)?
Vielen Dank im Vorraus
Gruß Haase:D
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> Aufgabe:
> a) Wer ist hier von wem linear abhängig oder nicht?
> b) Welche Dimension hat der zugehörige Verktorraum?
> 4 Vektoren:
> a=(4,-6,-14,-16)
> b=(5,3,2,7)
> c=(9,4,1,9)
> d=(2,4,6,10)
>
> Zu a)
> Ich kenne die Vektorraumaxiome und kann zeigen das eine
> Abbildung anhand von f(x+y)=f(x)+f(y) & f(lamda x) = lamda
> f(x) linear ist.
Hallo,
daß Du das kannst, ist wunderbar - hier geht es um etwas anderes, um die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren.
Falls Du wirklich nicht weißt, was das ist, mußt Du Dich unbedingt informieren, zum Einstieg vielleicht ![[]](/images/popup.gif) hier, andernfalls kannst Du Deine Bemühungen in LA sofort einstellen.
Gut. Angenommen Du weißt, was lineare (Un-)Abhängigkeit ist.
Zum Lösen der Aufgabe steckst Du Deine Vektoren als Spalten in eine Matrix, welche Du auf Zeilenstufenform bringst. Hieran kannst Du schonmal den Rang ablesen, also wie groß eine unabhängige Teilmenge dieser Vektoren höchstens sein kann.
Danach kannst Du dann herausfinden, welche dieser Vektoren unabhängig sind.
Wie das geht, können wir später klären, wenn die Zeilenstufenform steht.
> Zu b)
> n = dim(V) darauf folgt 4 = dim(a,b,c,d)?
???
Die Frage ist, welche Dimension der von a,b,c,d aufgespannte Vektorraum hat.
Antwort hierauf liefert der Rang der oben beschriebenen Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Haase |
Danke für deine Antwort.
Ich habe mich nochmal kräftig über die Begriffe informiert. So wie ich das verstanden habe kann man entweder die Vektoren als LGS aufstellen oder die Determinte von den Vektoren als Matrix berechnen und wenn Null rauskommt, dann sind die Vektoren linear abhängig andernfalls linear unabhängig.
a)
det(...) = 0 => linear abhängig
Frage: Muss man auch einzelnde Vektoren betrachten? Geht das überhaupt, den jeder Vektor hat ja 4 Elemente.
b)
span(a,b,c,d) = [mm] R^4
[/mm]
dim(V) = r => [mm] dim(R^4)=4
[/mm]
Satz: Anzahl Vektoren ist die Dimension des Vektorraumes
Habe ich das richtig gelöst?
Gruß Haase
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> Danke für deine Antwort.
>
> Ich habe mich nochmal kräftig über die Begriffe informiert.
> So wie ich das verstanden habe kann man entweder die
> Vektoren als LGS aufstellen oder die Determinte von den
> Vektoren als Matrix berechnen und wenn Null rauskommt, dann
> sind die Vektoren linear abhängig andernfalls linear
> unabhängig.
> a)
> det(...) = 0 => linear abhängig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Frage: Muss man auch einzelnde Vektoren betrachten? Geht
> das überhaupt, den jeder Vektor hat ja 4 Elemente.
> b)
> span(a,b,c,d) = [mm]R^4[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
i.A. gilt: [mm] span(a,b,c,d)\subset\IR^4
[/mm]
die Gleichheit gilt nur, wenn [mm] \{a,b,c,d\} [/mm] linear unabhängig ist
> dim(V) = r => [mm]dim(R^4)=4[/mm]
> Satz: Anzahl Vektoren ist die Dimension des Vektorraumes
>
> Habe ich das richtig gelöst? leider nicht ganz
> Gruß Haase
Hallo Haase,
befolge doch erstmal Angelas Ratschlag und stelle mal die oben erwähnte Matrix auf:
[mm] \pmat{ 4 & 5 & 9 & 2 \\ -6 & 3 & 4 & 4 \\ -14 & 2 & 1 & 6 \\ -16 & 7 & 9 & 10 }
[/mm]
So und die Matrix bringe mal mittels elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform.
Erlaubte Umformungen sind:
(1) Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
(2) Vertauschen von zwei Zeilen
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
Zeilenstufenform bedeutet, dass unter dem ersten Eintrag [mm] \ne [/mm] 0 einer jeden Zeile sämtlich Nullen stehen.
Wenn du das hast, schauen wir weiter
Bis dann und schönen Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Di 27.03.2007 | | Autor: | Haase |
Achso, danke dir.
Ich habe keine Zeile umgeformt, nur den Gauß-Algo. angewendet:
4 5 9 2
0 -10,5 -17,5 -7
0 0 0 0
0 0 0 0
Bist du so nett und verätst mir was das zu bedeuten hat?
Kann ich jetzt Beziehungen zwischen den einzelnden Vektoren erkennen?
Gruß Haase
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Di 27.03.2007 | | Autor: | Haase |
Nochmal der gleiche Text nur als Fragestellung. Vielen Dank nochmal für dein Hilfe.
Ich habe keine Zeile umgeformt, nur den Gauß-Algo. angewendet:
4 5 9 2
0 -10,5 -17,5 -7
0 0 0 0
0 0 0 0
Bist du so nett und verätst mir was das zu bedeuten hat?
Kann ich jetzt Beziehungen zwischen den einzelnden Vektoren erkennen?
Gruß Haase
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> Nochmal der gleiche Text nur als Fragestellung. Vielen Dank
> nochmal für dein Hilfe.
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> Ich habe keine Zeile umgeformt, nur den Gauß-Algo.
> angewendet:
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> 4 5 9 2
> 0 -10,5 -17,5 -7
> 0 0 0 0
> 0 0 0 0
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> Bist du so nett und verätst mir was das zu bedeuten hat?
> Kann ich jetzt Beziehungen zwischen den einzelnden
> Vektoren erkennen?
>
> Gruß Haase
Das ist ein gutes Ergebnis und verrät dir, dass der [mm] \bold{Rang} [/mm] der Matrix = 2 ist.
Somit sind von deinen 4 Vektoren [mm] \vec{a},...,\vec{d} [/mm] genau 2 linear unabhängig, welche das sind, musst du nun "manuell" durch Ansetzen der üblichen LK herausfinden:
Nimm mal [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] Wenn das passt, ist es schon erledigt, falls nicht, nimm statt [mm] \vec{b} [/mm] den [mm] \vec{c} [/mm] hinzu und teste erneut usw.
Der Rang 2 zeigt dir auch, dass deine Vektoren nicht den [mm] \IR^4 [/mm] aufspannen können, sondern lediglich einen Teilraum des [mm] \IR^4 [/mm] mit DIMENSION 2
Hast du zwei linear unabhängigen Vektoren gefunden, so bilden diese eine [mm] \bold{Basis} [/mm] dieses Unterraumes
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Haase |
Vielen Dank schachuzipus, jetzt habe ich alles Verstanden. Echt gut erklärt!
Gruß Haase
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