Lineare Abhängigkeit zeigen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 04.06.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Seien u,v,w beliebige Vektoren. Zeige:
{u - v, v - w, w - a} ist l.a. |
Hallo!
Für zwei Vektoren ist mir klar wie ich das beweisen kann:
wegen u - k * v = 0, wobei k [mm] \in [/mm] Körper:
u = k*v
Hier handelt es sich nun um 3 Vektoren.
Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?
mfg
uniklu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 04.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> Seien u,v,w beliebige Vektoren. Zeige:
> {u - v, v - w, w - a} ist l.a.
Der dritte Vektor soll wohl [mm]w-u[/mm] heißen oder? Dann ist doch [mm](u-v)+(v-w)=-(w-u)[/mm]. D.h. der dritte Vektor deiner Menge lässt sich als Linearkombination der ersten beiden schreiben.
Gruß, Robert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 04.06.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Ja stimmt, das a sollte ein u sein.
danke!
das bedeutet also, dass in diesem Fall das k den Wert von -1 hätte.
{u-v, v-w, w-u}
v-w + u - v = - (w + u)
also wenn ich das ganze einfacher hinschreiben:
a := u-v
b := v-w
c := w-u
a - b - k (a + b) = 0, wobei k = -1
reicht das für einen beweis.
wüsste nicht wie man das noch formaler hinschreiben könnte?
vielen vielen dank!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 04.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> das bedeutet also, dass in diesem Fall das k den Wert von
> -1 hätte.
>
> {u-v, v-w, w-u}
> v-w + u - v = - (w + u)
Nee [mm] $(v-w)+(u-v)=u-w=(-1)\cdot(w-u)$.
[/mm]
> also wenn ich das ganze einfacher hinschreiben:
> a := u-v
> b := v-w
> c := w-u
> a - b - k (a + b) = 0, wobei k = -1
>
> reicht das für einen beweis.
Also was da steht ist irgendwie falsch, rechne doch mal genau nach mit [mm]k=-1[/mm][mm] :$$a-b-k\cdot(a+b)=a-b-(-1)(a+b)=a-b+(a+b)=2a\ne0$$Außerdem [/mm] musst du einen der Vektoren (z.B. [mm]c[/mm]) durch die anderen beiden ausdrücken, um lineare Abhängigkeit zu zeigen, also mit deinen Definitionen für [mm]a,b,c[/mm]:$$a+b=-c$$ Das, ist ein Beweis.
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