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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem
[mm] \vmat{ 0*x_{1} & 3*x_{2} & 9*x_{3} & = -1 \\ 2*x_{1} & -1*x_{2} & 4*x_{3} & = 1 \\ 4*x_{1} & -1*x_{2} & -1*x_{3} & = 1 \\ 6*x_{1} & -1*x_{2} & -6*x_{3} & = 1 }
[/mm]
(a) Schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form Ax = b mit geeigneten Matrizen/Vektoren A, x und b. Wieviele Zeilen und wieviele Spalten hat der Vector x?
(b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren nach x auf und geben Sie die Lösungsmenge an |
Hallo zusammen,
ich habe einige generelle Fragen zu diesen Aufgaben und würde mich freuen, wenn mich da jemand aufklären würde.
In Aufgabe (a) steht, dass ich die Vektoren/Matrizen A, b und x aufschreiben soll. x ist in dem Fall noch unbekannt, dazu komme ich später.
Für A würde ich schreiben:
[mm] A=\vmat{ 0 & 3 & 9 \\ 2 & -1 & 4 & \\ 4 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & -6 }
[/mm]
Für b würde ich schreiben:
[mm] b=\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
--> Ist das korrekt?
Weiter zum x. In Aufgabe (a) steht auch die Frage, wieviele Zeilen und Spalten der Vektor x hat. Da stehe ich allerdings komplett auf dem Schlauch.
Daher meine Frage: Kann ich das beantworten, indem ich mir A und b lediglich ansehe? Wenn ja, wie?
Wenn ich Aufgabe (b) löse, also das Eliminationsverfahren anwende, erhalte ich ja x als Lösung.
Das Ergebnis ist:
[mm] \pmat{ \bruch{5}{36} \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{18} }
[/mm]
Somit hat der Vektor x drei Zeilen und eine Spalte.
Dann noch eine Frage zur Aufgabe (a). Dort steht, ich solle die Sachen in der Form Ax = b aufschreiben. Hat das irgendeine bedeutung? Oder reicht es einfach, wenn ich sag A=bla und b=bla und x=bla ?
Und noch eine letzte Frage zur Probe. Was muss man da genau machen? Reicht es, wenn ich mir lediglich die erste Zeile aus dem Gleichungssystem nehme und die [mm] x_{1-3} [/mm] dort einsetze und püfe, ob das Ergebnis stimmt? Oder muss ich das für alle vier Zeilen machen?
Viele Dank im vorraus :)
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 07.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
deine Matrix A und den Vektor b hast du richtig bestimmt. Fehlt nur noch der Vekotr x damit du es auch wirklich in der Form Ax=b stehen hast, dein Vektor x enthält die Komponenten [mm] x_1,x_2,x_3:
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 9 \\ 2 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & -6 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Jetzt kannst du die Frage nach der Anzahl der Spalten/Zeilen des Vektors x beantworten!
> Somit hat der Vektor x drei Zeilen und eine Spalte.
Richtig 
> Dann noch eine Frage zur Aufgabe (a). Dort steht, ich solle
> die Sachen in der Form Ax = b aufschreiben. Hat das
> irgendeine bedeutung? Oder reicht es einfach, wenn ich sag
> A=bla und b=bla und x=bla ?
Das ist eigentlich nur zur Verdeutlichung.
> Und noch eine letzte Frage zur Probe. Was muss man da genau
> machen? Reicht es, wenn ich mir lediglich die erste Zeile
> aus dem Gleichungssystem nehme und die [mm]x_{1-3}[/mm] dort
> einsetze und püfe, ob das Ergebnis stimmt? Oder muss ich
> das für alle vier Zeilen machen?
Das liegt an dir; um sicher zu gehen, würde ich das System schnell mal nachrechnen. Wenn du meinst, du würdest dich nirgends verrechnen, brauchst du es gar nicht zu prüfen  Das ist aber nicht empfehlenswert. Um ganz sicher zu gehen, hilft nur Nachrechnen.
> Viele Dank im vorraus :)
> Andi
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hi barsch,
danke für die super Antwort.
Eine Frage habe ich noch zur Probe. In unserer Klausur müssen wir wahrscheinlich eine Probe mit aufschreiben, somit komme ich eh nicht drum herum.
Würde es für die Probe reichen, wenn ich die erste Zeile nehme, [mm] x_{1-3} [/mm] dort einsetze und schaue, ob das Ergebnis stimmt?
Also folgende:
[mm] 0*x_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2} [/mm] + [mm] 9*x_{3} [/mm] = -1
Wenn die Werte einsetze und ausrechne stimmt es, ich bekomme ebenfalls -1 als Ergebnis auf der linken Seite raus.
Wäre damit die Probe schon abgeschlossen oder muss ich die anderen Zeilen aus dem Gleichungssystem ebenfalls rechnen?
Gruß
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Fr 07.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Eine Frage habe ich noch zur Probe. In unserer Klausur
> müssen wir wahrscheinlich eine Probe mit aufschreiben,
> somit komme ich eh nicht drum herum.
>
> Würde es für die Probe reichen, wenn ich die erste Zeile
> nehme, [mm]x_{1-3}[/mm] dort einsetze und schaue, ob das Ergebnis
> stimmt?
>
> Also folgende:
> [mm]0*x_{1}[/mm] + [mm]3*x_{2}[/mm] + [mm]9*x_{3}[/mm] = -1
Naja, ich kenne das aus eigener Erfahrung; man kann sich an irgendeinem Punkt so geschickt verrechnen, dass die erste Zeile hinhaut, aber der Rest nicht.
Ein Beispiel:
Ich habe [mm] A=\pmat{ 4 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] und [mm] b=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Ich habe als Lösungs [mm] x=\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] heraus.
Würdest du sagen, meine Lösung ist richtig, wenn du dich nur auf die erste Zeile stützt. Die 2. Zeile stimmt im Übrigen auch noch.
Und das kann in Klausuren sehr, sehr schnell passieren.
MfG barsch
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