Lineare Anhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 05.03.2008 | | Autor: | claudi7 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jeweils drei der vier Vektoren linear unabhängig sind und stellen Sie jeden der vier Vektoren als Linearkombination der drei anderen dar.
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{1 \\ 3 \\ 4} [/mm]
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Die Linearkombination aufzustellen und die Gleichung dann jeweils nach den einzelnen Vektoren umzustellen war kein Problem.
Was ich allerdings nicht verstehen ist, wie ich damit beweise, dass jeweils drei der vier Vektoren linear unabhängig sind????
Nach meinem Verständnis sind Vektoren, die sich als Linearkombination der anderen darstellen lassen linear abhängig ?
Kann mir das jemand erklären?
lineare Abhängigkeit:
- es gilt: [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vec{0}, [/mm] aber mindestens einer der Parameter r,s und [mm] t\not=0
[/mm]
- mindestens ein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
lineare Unabhängigkeit:
- es gilt: [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vec{0}, [/mm] aber alle Parameter r,s und t=0
- kein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
...so habe ich es zumindest verstanden!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hi Claudi,
> Zeigen Sie, dass jeweils drei der vier Vektoren linear
> unabhängig sind und stellen Sie jeden der vier Vektoren als
> Linearkombination der drei anderen dar.
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{1 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> Die Linearkombination aufzustellen und die Gleichung dann
> jeweils nach den einzelnen Vektoren umzustellen war kein
> Problem.
> Was ich allerdings nicht verstehen ist, wie ich damit
> beweise, dass jeweils drei der vier Vektoren linear
> unabhängig sind????
Das kannst du damit auch nicht beweisen.
> Nach meinem Verständnis sind Vektoren, die sich als
> Linearkombination der anderen darstellen lassen linear
> abhängig ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da hast du recht!
> Kann mir das jemand erklären?
Du sollst überprüfen, dass jeweils 3 Vektoren linear unabhängig sind.
Danach sollst du den vierten Vektor als Linearkombination der anderen schreiben. (Anmerkung: ich muss schnell was esse  , werd dir gleich noch ein paar ausführlichere Worte schreiben, aber überprüfe du schon mal drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit!)
>
> lineare Abhängigkeit:
>
> - es gilt: [mm]r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vec{0},[/mm] aber
> mindestens einer der Parameter r,s und [mm]t\not=0[/mm]
> - mindestens ein Vektor lässt sich als Linearkombination
> der anderen darstellen.
> lineare Unabhängigkeit:
>
> - es gilt: [mm][mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vec{0}
[/mm]
> - kein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen
> darstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 05.03.2008 | | Autor: | claudi7 |
Die Lösung der Aufgabe war jeden Vektor als Linearkombination darzustellen. Mehr haben wir nicht gemacht. Genau das hat mich ja verwirrt.
Ich versteh immer noch nicht wie ich bei drei Vektoren lineare Unabhängigkeit beweisen soll/kann, wenn sich doch alle als Liniearkombi. darstellen lassen????
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"Linear abhängig" und "Linear unabhängig" sind eigentlich immer Begriffe für eine Gruppe von Vektoren. Man sagt z.B.
- [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] sind linear unabhängig
- [mm] \vektor{0\\0\\1}, \vektor{0\\0\\2}, \vektor{1\\0\\0} [/mm] sind linear abhängig
Die erste Aufgabenstellung richtet sich aber an die Gruppe mit allen vier Vektoren. Alle vier zusammen in einer Gruppe sind linear abhängig, weil du jeden als Linearkombination von den anderen dreien schreiben kannst.
Bei der zweiten Ausgabenstellung sollst du nun lediglich zeigen, dass je drei aus den vier gegebenen Vektoren linear unabhängig sind, d.h. das
- [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] (klar!)
- [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\3\\4}
[/mm]
- [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\3\\4}, \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
- [mm] \vektor{1\\3\\4}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
linear unabhängig sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 05.03.2008 | | Autor: | claudi7 |
okay, Danke.....dann hat unser Lehrer anscheinend nur die halbe Aufgabe gelöst
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