Lineare DGL erster Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 28.11.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Ich habe eine Frage zu Linearen DGL erster Ordnung und hoffe mir kann hier einer weiterhelfen. Danke schonmal.
Kann mir vielleicht jemand in einfachen Worten die Begriffe homogene und partikuläre Lösung einer DGL erklären? ich habe im Internet so einiges gefunden, aber irgendwie nicht richtig verstanden. Kann mir das jemand an einem Beispiel erklären? Am besten an einem einfachen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 So 29.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo tynia,
generell beinhaltet eine gewöhnliche Differentialgleichung die gesuchte Funktion y(x), Ableitungen davon sowie auch Terme, die nur von x abhängen. Allgemein lässt sich dies schreiben als
$$ F(x, y(x), [mm] y^{'} [/mm] (x), [mm] y^{''} [/mm] (x), ...., [mm] y^{(n)}(x)) [/mm] = 0 [mm] \, [/mm] . $$
Die höchste vorkommende Ableitung gibt die Ordnung der DGL an, bei Dir taucht also nur eine erste Ableitung auf.
So eine DGL kann man nun so umstellen, dass auf der linken Seite der Gleichung Terme vorkommen, die die Ableitung enthalten und auf der rechten Seite nur Terme, die von x abhängen. Bei einer DGL 1. Ordnung ergibst sich also etwas wie
$$ [mm] ay^{'}(x) [/mm] + b y(x) = r(x) [mm] \, [/mm] . $$
Jetzt kommen die Begriffe rein, die Du erwähntest. Bei einer homogenen DGL ist die rechte Seite gleich 0, also r(x) = 0 .
Solch eine DGL ist durch Trennung der Variablen meist gut zu lösen. Wenn Du nun aber eine Lösung suchst für eine DGL mit rechter Seite ungleich Null, so gelingt dies in zwei Schritten.
1) Du löst die homogene DGL, häufig mit [mm] y_h (x) [/mm] bezeichnet
2) Du suchst eine partikuläre Lösung für die Gesamt-DGL. Eine Methode hierfür ist beispielsweise der "Ansatz vom Typ der rechten Seite". Solch eine Lösung nennt man eine Partikulärlösung [mm] y_p (x) [/mm].
Die Gesamtlösung einer DGL ist dann die Summe aus homogener Lösung und partikülärer Lösung, also
$$ y(x) = [mm] y_h [/mm] (x) + [mm] y_p [/mm] (x) [mm] \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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