Lineare Gleichung/Funktion < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 14.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Guten Abend liebe Mathematiker,
kann mir jemand didaktisch begründen, wo der Unterschied zwischen einer
LINEAREN GLEICHUNG und einer LINEAREN FUNKTION liegt?
Kommt man mit der Begründung weiter?
Lineare Gleichung:
0= ......
Lineare Funktion:
y= .... z.B. y=mx+b
Welche Eigenschaften def. Funktionen und welche Gleichungen.
Ich komme gerade über haupt nicht weiter!
VIELEN VIELEN DANK!
Grüße und schönen Abend
DONDON
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Sa 15.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Hallo Ihr beiden,
erstmal vielen herzlichen Dank, dass Ihr Euch mit dieser Frage auseinander gesetzt habt.
Doch leider reisen Eure Antworten nur einen Teil der Lösung an!
Denn ich wollte eine DIDAKTISCHE Begründung für den SCHULUNTERRICHT!
(Wie kann man diese seinen Schülern im 7./8. Schuljahr erklären?!)
Wenn ich denen sage:
y=mx+b
bzw.
a*x=b
schauen die mich wahrscheinlich mit Großen Augen an!
Vielleicht weiß ja sonst noch wer, wo der Unterschied zwischen einer
Linearen Gleichung und einer Linearen Funktion liegt.
Im Voraus vielen herzlichen DANK!
DONDON
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Dondon,
Lineare Funktion
Als lineare Funktionen werden oft Funktionen der Form x ® k x + d bezeichnet (weil ihre Graphen Geraden sind). Nach dieser Bezeichnungsweise fallen konstante Funktionen (für die k = 0 ist) und Funktionen erster Ordnung (für die k ¹ 0 ist) darunter.
Nach einer anderen Bezeichnungsweise wird eine Funktion nur dann als linear bezeichnet, wenn sie von der Form x ® k x ist (was der obigen Form mit d = 0 entspricht).
Auf eine genauere Bezeichnungsweise ist allerdings Verlaß: Eine Funktion der Form x ® k x + d heißt
* linear-homogen, wenn d = 0 ist und
* linear-inhomogen, wenn d ¹ 0 ist.
Lineare Gleichung
Gleichung, deren beide Seiten lineare Terme sind (bzw. die durch Äquivalenzumformungen auf eine solche Form gebracht werden kann). Dabei wird unter einem linearen (genauer: linear-inhomogenen) Term ein Ausdruck von der Form A x + B verstanden. Lineare Gleichungen werden auch Gleichungen erster Ordnung genannt.
Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform a x + b = 0 gebracht werden. Lösungen: Falls a und b beide Null sind, ist die Lösungsmenge gleich der Grundmenge. Ist a = 0 und b ¹ 0, ist die Lösungsmenge leer. Ist a ¹ 0, so ist x = - b/a (falls diese Zahl Element der angegebenen Grundmenge ist) die (einzige) Lösung.
Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Jeder kennt diese Art von mathematischen Rätseln, die meist etwa ähnlich lauten wie: "Ich denke mir eine Zahl. Diese Zahl multipliziere ich mit 5, dann ziehe ich 3 ab und bekomme als Ergebnis 2. Wie lautet die Zahl?". Dieses Rätsel können Sie in der Form einer Gleichung hinschreiben. Nennen wir die unbekannte Zahl x. Dann lautet die zu dem Rätsel gehörige Gleichung:
5 · x - 3 = 2
An diesem Beispiel können Sie bereits einige wichtige Eigenschaften aller Gleichungen ablesen: In der Mitte hat jede Gleichung ein Gleichheitszeichen, das symbolisiert, dass die Rechenausdrücke, die rechts und links von ihm stehen, gleich sind. Diese Rechenausdrücke rechts und links vom Gleichheitszeichen heißen Terme. Demnach ist eine Gleichung ganz allgemein eine Aussage darüber, dass zwei Terme mathematisch gleich sind. Gleichungen müssen nicht unbedingt unbekannte Größen enthalten, wie es im Beispiel oben der Fall ist; ja, in Gleichungen muss es noch nicht einmal um Zahlen gehen - beispielsweise gibt es auch Gleichungen zwischen Mengen oder Maßeinheiten.
Die Gleichung in unserem Beispiel ist von einem besonderen Gleichungstyp. Sie enthält genau eine Unbekannte, nämlich x, die man auch Lösungsvariable nennt. Diese Lösungsvariable x kommt in der Gleichung nicht im Quadrat oder einer anderen höheren Potenz oder in der Wurzel vor, sondern nur in der ersten Potenz, also linear. Deshalb bezeichnet man Gleichungen dieses Typs als lineare Gleichungen einer Variablen. Die allgemeine Form der linearen Gleichung mit einer Variablen lautet:
a · x + b = 0,
wobei a und b beliebige, aber feste Zahlen sind.
Ziel ist es, die unbekannte Größe x auf einer Gleichungsseite zu isolieren. Das macht man, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Rechenoperationen durchführt. Führen Sie niemals eine Rechenoperation nur auf einer Seite der Gleichung durch, denn dann geht der Gleichungscharakter verloren, und Sie bekommen ein ganz falsches Resultat!
Bei unserem Rätselbeispiel oben addieren Sie zuerst auf beiden Seiten 3. Dann lautet die Gleichung
5 · x - 3 + 3 = 2 + 3
⇒ 5 · x = 5
(Der Pfeil ⇒ vor der zweiten Zeile symbolisiert, dass die zweite Zeile aus der ersten folgt.) Nun dividieren Sie noch beide Seiten durch 5, um das Ergebnis zu bekommen:
x = 1
Die gedachte Zahl in dem Rätsel war also einfach die 1.
Die Lösung der allgemeinen linearen Gleichung erhalten Sie auf ähnlichem Weg; sie lautet:
Aufgaben:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
1. 4 · x - 2 = 0
2. 5 · x + 3 = 18
3. 3 · x + 6 = 1
Ergebnisse:
1. x = 1/2
2. x = 3
3. x = - 5/3
Eine Gleichung kann auch mehrere Variable enthalten; dann hat sie aber keine eindeutige Lösung mehr, sondern eine unendliche Schar von Lösungspaaren. Erst zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten haben wieder eine eindeutige Lösung, oder drei Gleichungen mit drei Variablen, und so weiter. Solche Systeme von zwei oder mehr Gleichungen, die Sie zusammen lösen müssen, werden als gekoppelte Gleichungen oder als Gleichungssystem bezeichnet.
Um zu sehen, wie man ein Gleichungssytem auflöst, betrachten Sie folgendes Beispiel:
2x + 3y = -1
4x - y = 2
Hier wurden jetzt übrigens die Malzeichen zwischen den Zahlen und den Variablen x und y fortgelassen; das macht man häufig, um die Schreibweise abzukürzen.
Zur Lösung dieses Gleichungssystems gibt es drei verschiedene Möglichkeiten: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
Das Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren lösen Sie zuerst beide Gleichungen nach einer der beiden Variablen x oder y auf; in unserem Beispiel x:
Nun setzen Sie die beiden rechten Seiten gleich:
Jetzt haben Sie nur noch eine Gleichung mit einer Variablen; da wissen Sie schon, was Sie nun tun müssen. Als Ergebnis bekommen Sie:
Um die Lösung für x zu bekommen, müssen Sie jetzt noch dieses Resultat in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen; welche von beiden, ist gleichgültig. Beispielsweise in die erste Gleichung eingesetzt, erhalten Sie:
Daraus ergibt sich für x die Lösung:
Das Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren lösen Sie zunächst eine von beiden Gleichungen nach einer Variablen auf. Das geht hier mit y bei der zweiten Gleichung am einfachsten:
y = 4x - 2
Dieses Zwischenresultat setzen Sie nun in die erste Gleichung ein:
2x + 3(4x - 2) = -1
und erhalten wieder das gleiche Ergebnis wie beim Gleichsetzungsverfahren - das muss ja auch so sein!
Aufgabe:
Führen Sie die Lösung nun zu Ende, indem Sie noch y berechnen!
Ergebnis:
Das Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren multiplizieren Sie als erstes die beiden Gleichungen so passend, dass eine der beiden Variablen x oder y in beiden Gleichungen mit dem gleichen Vorfaktor dasteht. In unserem Beispiel multiplizieren Sie am besten die erste Gleichung mit (-2):
-4x - 6y = 2
Nun addieren Sie die beiden Gleichungen; das machen Sie, indem Sie einfach die beiden rechten und die beiden linken Seiten addieren. Dann bekommen Sie:
4x - y - 4x - 6y = 2 + 2
⇒ -y - 6y = 2 + 2 = 4
Die Variable x ist also durch die Addition verschwunden! Und nun wissen Sie ja schon wieder, wie es weitergeht.
Aufgabe:
Führen Sie die Lösung des Gleichungssystems zu Ende!
Ergebnis:
Obige Gleichung nach y aufgelöst ergibt wieder . Einsetzen von y in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen führt für x auch wieder zu der Lösung .
Aufgabe:
Lösen Sie das Gleichungssystem
2x + 3y = 2
4x - 3y = 1
Überlegen Sie sich vorher, welches Lösungsverfahren hier am besten geeignet ist!
Ergebnis:
Das Additionsverfahren ist hier am günstigsten, weil die Variable y in beiden Gleichungen mit dem Vorfaktor 3 auftaucht; einmal addiert, einmal subtrahiert. Addieren der beiden Gleichungen ergibt 6x = 3; daraus folgt:
Dies in die erste ursprüngliche Gleichung eingesetzt führt zu 1 + 3y = 2. Daraus ergibt sich für y die Lösung:
Fundstelle: wissen.de
ergänzend siehe auch:
![[]](/images/popup.gif) http://www.webmix-web.de/mathematik/index-Dateien/Page2554.htm
http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_linearefunktionenallgemein_14.htm
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