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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 25.01.2014 | | Autor: | tsaG |
| Aufgabe | Für welche α ∈ [mm] \IC [/mm] hat das lineare Gleichungssystem
2x + y + z = 0
−8α·x + 4α·y − 5z = 6+2i
2x + 2y + αz = 1
i) eine eindeutige Lösung,
ii) genau zwei Lösungen,
iii) unendlich viele Lösungen,
iv) keine Lösung? |
So, als erstes habe ich nach Gauss eine Dreiecksmatrix erstellt. Leider weiss ich nicht genau wie man hier ein LGS aufschreibt
[mm] \vmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 \\ 0 & 0 & -8a^2+12a-5 } [/mm] =0 ; =1 ; =6+2i-8a
Nun habe ich gerechnet:
[mm] -8a^2+12a-5=6+2i-8a
[/mm]
und erhalte
a1= [mm] \bruch{3}{4}+\bruch{i}{4}
[/mm]
a2= [mm] \bruch{7}{4}-\bruch{i}{4}
[/mm]
Nun weiss ich jedoch nicht wie ich weiter machen soll.
wenn ich a= a1=a2 setze hat das LGS doch keine Lösung da eine Nullzeile entsteht und ich es daher nicht eindeutig lösen kann, oder?
ist a [mm] \not= [/mm] a1 [mm] \not= [/mm] a2 , also bspw 1, erhalte ich eine Ungleichung 1=1-i und es gibt keine Lösung, oder?
Wie komme ich auf die anderen beiden Fälle?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tsaG,
> Für welche α ∈ [mm]\IC[/mm] hat das lineare Gleichungssystem
>
> 2x + y + z = 0
> −8α·x + 4α·y − 5z = 6+2i
> 2x + 2y + αz = 1
>
> i) eine eindeutige Lösung,
> ii) genau zwei Lösungen,
> iii) unendlich viele Lösungen,
> iv) keine Lösung?
> So, als erstes habe ich nach Gauss eine Dreiecksmatrix
> erstellt. Leider weiss ich nicht genau wie man hier ein LGS
> aufschreibt
>
> [mm]\vmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 \\ 0 & 0 & -8a^2+12a-5 }[/mm] =0
> ; =1 ; =6+2i-8a
>
> Nun habe ich gerechnet:
>
> [mm]-8a^2+12a-5=6+2i-8a[/mm]
>
> und erhalte
> a1= [mm]\bruch{3}{4}+\bruch{i}{4}[/mm]
>
> a2= [mm]\bruch{7}{4}-\bruch{i}{4}[/mm]
>
> Nun weiss ich jedoch nicht wie ich weiter machen soll.
>
> wenn ich a= a1=a2 setze hat das LGS doch keine Lösung da
> eine Nullzeile entsteht und ich es daher nicht eindeutig
> lösen kann, oder?
>
> ist a [mm]\not=[/mm] a1 [mm]\not=[/mm] a2 , also bspw 1, erhalte ich eine
> Ungleichung 1=1-i und es gibt keine Lösung, oder?
>
> Wie komme ich auf die anderen beiden Fälle?
>
Ein LGS ist doch lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix
gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.
Betrache dazu zunächst den Rang der Koeffizientenmatrix
[mm]\pmat{2 & 1 & 1 \\ -8*\alpha & 4*\alpha & -5 \\ 2 & 2 & \alpha}[/mm]
in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm].
Bestimme dann den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
[mm]\pmat{2 & 1 & 1 & \blue{0} \\ -8*\alpha & 4*\alpha & -5 & \blue{6+2i}\\\ 2 & 2 & \alpha & \blue{1} }[/mm]
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 25.01.2014 | | Autor: | tsaG |
Okay, gesagt getannt. Beide haben den Rang 3, also Lösbar. Die Frage ist für mich halt für welche es denn Lösbar ist, also eine bzw. Zwei Lösungen hat.
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Hallo tsaG,
> Okay, gesagt getannt. Beide haben den Rang 3, also Lösbar.
Hier ist der Fall noch zu nennen.
> Die Frage ist für mich halt für welche es denn Lösbar
> ist, also eine bzw. Zwei Lösungen hat.
Für welche [mm]\alpha[/mm] das lösbar ist,
das bekommst Du mit der Rangbestimmung heraus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 25.01.2014 | | Autor: | tsaG |
Tut mir leid, das verstehe ich jetzt leider nicht :(
Ich hab den Rang bestimmt, beide = 3.
Meinst Du die Lösung der erweiterten Koeffizienten Matrix ist die Lösung?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & (-1-(3i)/2)/((-2-i)+(2+2i)a) \\ 0 & 1 & 0 &i/((-2-i)+(2+2i)a) \\ 0 & 0 & 1 & (2+2i)/((-2-i)+(2+2i)a) }
[/mm]
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> Tut mir leid, das verstehe ich jetzt leider nicht :(
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> Ich hab den Rang bestimmt, beide = 3.
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> Meinst Du die Lösung der erweiterten Koeffizienten Matrix
> ist die Lösung?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & (-1-(3i)/2)/((-2-i)+(2+2i)a) \\ 0 & 1 & 0 &i/((-2-i)+(2+2i)a) \\ 0 & 0 & 1 & (2+2i)/((-2-i)+(2+2i)a) }[/mm]
Hallo,
Vorsicht, die Matrix könnte gleich explodieren!
Du hast durch (-2-i)+(2+2i)a) dividiert,
dieser Ausdruck kann aber für ein gewisses a=... zu Null werden!
Für [mm] a\not=... [/mm] ist - sofern Du richtig gerechnet hast, was ich nicht prüfe -
Rg Koeffizientenmatrix =Rg erweiterte Koeffizientenmatrix,
das System also lösbar, und zwar eindeutig, denn die Koeffizentenmatrix hat vollen Rang.
LG Angela
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