Lineare Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 So 16.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe die Definition leider gar nicht verstanden, google hat mich auch nicht weitergebracht, daher versuch ichs hier.
Konkret geht es darum was der spann überhaupt ist. Ich habe gelesen, dass es um die endliche Menge von Linearkombinationen aus einem Vektorraum geht (trifft es das so ungefähr?). Aber ein Vektorraum besteht doch quasi schon aus Linearkombinationen, denn ich kann ja jeden Vektor des Vektorraums durch eine Linearkombination ausdrücken...
Wäre schön wenn mir das jemand erklären könnte.
Lieben Gruß
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ist V ein Vektorraum über dem Körper K und M eine Teilmenge von V, so ist
x [mm] \in [/mm] span(M)
[mm] \gdw [/mm]
es ex. ein n [mm] \in \IN [/mm] und es ex. [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n \in [/mm] M und es ex. [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_n \in [/mm] K mit:
$x= [mm] t_1*x_1+ ...+t_n*x_n$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 16.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich versuch jetzt mal in Worte zu fassen, wie ich das jetzt verstanden habe um sicherzugehen, dass ichs auch verstanden habe.
Also wenn ein Vektor Element von dem Span einer Menge M (die ja auch Untervektorraum ist oder nicht?) ist, dann kann er als Linearkombination der Vektoren aus M dargestellt werden. Das heißt dann, dass die Menge aller Vektoren im span als Linearkombination der Vektoren in M dargestellt werden kann.
Enthält dann der Span mehr Vektoren als M?
Und dazu nochwas: In meinem Skript steht, dass [mm] span(v_{1},v_{2}, [/mm] ... , [mm] v_{m}) [/mm] der kleinste Untervektorraum von V, der [mm] v_{1},v_{2}, [/mm] ... , [mm] v_{m} [/mm] enthält, ist.
Ah, moment, ist M nur irgendeine Teilmenge von V und ich kann durch den Span von dieser Menge viele Vektoren darstellen, die in V sind?
Irgendwie ist noch nicht alles so sonnenklar 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 So 16.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Jetzt frag ich mich, ob ich so einen Blödsinn gebabbelt hab, das keiner weiß wo ich jetzt das Verständnisproblem hab...
Wenn das so sein sollte, dann ne Mitteilung schreiben, ich geb mein bestes das nochmal anders zu formulieren. In meinem Hinr herrscht derzeit ein bisschen Wirrwarr nach der Sturmflut (80 Seiten Skript an einem Tag =) )
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Hi,
eigentlich hast du es richtig verstanden:
M ist nur eine Menge von Vektoren, also nicht unbedingt ein Unterraum. Erst die Lineare Hülle, also alle möglichen Linearkombinationen der Vektoren bilden einen Unterraum. Das ist dann gleichzeitig auch der kleinste Unterraum, wo genau diese Vektoren aus M drin sind.
Wenn M selbst schon ein Untervektorraum ist, dann ist natürlich span(M) = M.
Beispiel:
Wenn du dir jetzt im [mm] \IR^{2} [/mm] oder [mm] \IR^{3} [/mm] einfach einen beliebigen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] nimmst (das wäre die Menge M), dann ist der alleine sicher kein Unterraum.
Alle Linearkombinationen dieses einen Vektors sind dann [mm] $k*\vec{a}$ [/mm] und das wäre dann die "Lineare Hülle".
Klar ist wohl, dass du so immer einen Untervektorraum bekommst und zumindest anschaulich klar ist, dass es auch keinen "kleineren" Unterraum gibt, wo auch genau die Vektoren aus M drin sind.
Andersrum betrachtet kann man die Menge M ein Erzeugendensystem für den Vektorraum nennen.
Alles klar?
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 16.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Die Menge M und der Vektorraum müssen dann dieselbe Dimension haben oder?
Vielen Dank für die tolle Antwort! Jetzt wird das Licht heller :)
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> Die Menge M und der Vektorraum müssen dann dieselbe
> Dimension haben oder?
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Nein, die Menge kann keine Dimension haben, weil sie nur eine Menge und kein Vektorraum ist.
Klar, wenn M selbst schon Vektorraum ist, dann ist ja span(M) = M und somit ist alles gleich bei denen.
>
> Vielen Dank für die tolle Antwort! Jetzt wird das Licht
> heller :)
Ach, bei mir scheint heute die Sonne - so viel Licht wie heute hier rein gebracht wurde, gab es die letzten 8 Wochen nicht . Dann kann ich auch mal was abgeben.
lg weightgainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Menge M und der Vektorraum müssen dann dieselbe
> Dimension haben oder?
das macht, wie weightgainer schon sagte, so erstmal keinen Sinn. Es gibt aber eine einfache Logik:
Sei [mm] $V\,$ [/mm] der endlichdimensionale Vektorraum der Dimension $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Sei $M [mm] \subseteq V\,.$ [/mm] Die Menge [mm] $M\,$ [/mm] selbst bildet i.a. bzw. muss i.a. noch keinen Vektorraum bilden. (Wenn sie einen bildet, dann gilt [mm] $M=\text{linspan}(M)\,.$ [/mm] I.A. hat man aber "nur" $M [mm] \subseteq \text{linspan}(M)\,.$)
[/mm]
Wir können aber
[mm] $$U:=\text{linspan}(M)$$ [/mm]
betrachten (rechterhand steht gerade die Menge aller Linearkombinationen von [mm] $M\,,$ [/mm] die mithilfe der auf $V [mm] \times V\,$ [/mm] definierten Operation $+,$ und der auf $K [mm] \times [/mm] V$ definierten Operation [mm] $\cdot$ [/mm] gebildet werden können).
Diese Menge [mm] $U\,$ [/mm] ist ein Unterraum (sie läßt sich auch als Schnitt aller [mm] $M\,$ [/mm] enthaltenden Unterräume von [mm] $V\,$ [/mm] charakterisieren).
Daher hat [mm] $U=\text{linspan}(M)\,$ [/mm] eine endliche Basis. Jetzt setze [mm] $m:=\dim(U)\,,$ [/mm] dann ist [mm] $m\,$ [/mm] die größte natürliche Zahl $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass sich [mm] $N\,$ [/mm] Vektoren in [mm] $U\,$ [/mm] finden lassen, die linear unabhängig sind. (D.h. mehr Vektoren "sind automatisch linear abhängig".)
Weil jede Teilmenge/Teilfamilie linear unabhängiger Vektoren auch linear unabhängig ist, folgt aus dem Basisergänzungssatz dann sofort, dass
[mm] $$m=\dim(\text{linspan}(M))=\dim(U) \le n=\dim(V)$$
[/mm]
ist.
Also:
Wenn Du einen endlichdimensionalen Vektorraum gegeben hast, daraus irgendwelche Elemente herausgreifst, und dann mithilfe dieser Elemente einen linearen Span bildest, so liefert Dir das einen Unterraum des Vektorraums - und die Dimension des Unterraums kann niemals echt größer als die des Vektorraums sein.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 So 16.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich danke euch beiden, jetzt sitzt es :) Wow, direkt zwei Fragen auf einmal geklärt.
Vielen Dank nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> eigentlich hast du es richtig verstanden:
>
> M ist nur eine Menge von Vektoren, also nicht unbedingt ein
> Unterraum. Erst die Lineare Hülle, also alle möglichen
> Linearkombinationen der Vektoren bilden einen Unterraum.
> Das ist dann gleichzeitig auch der kleinste Unterraum, wo
> genau diese Vektoren aus M drin sind.
> Wenn M selbst schon ein Untervektorraum ist, dann ist
> natürlich span(M) = M.
>
> Beispiel:
> Wenn du dir jetzt im [mm]\IR^{2}[/mm] oder [mm]\IR^{3}[/mm] einfach einen
> beliebigen Vektor [mm]\vec{a}[/mm] nimmst (das wäre die Menge M),
> dann ist der alleine sicher kein Unterraum.
> Alle Linearkombinationen dieses einen Vektors sind dann
> [mm]k*\vec{a}[/mm] und das wäre dann die "Lineare Hülle".
> Klar ist wohl, dass du so immer einen Untervektorraum
> bekommst und zumindest anschaulich klar ist, dass es auch
> keinen "kleineren" Unterraum gibt, wo auch genau die
> Vektoren aus M drin sind.
es ist zwar (vielen oder den meisten) klar, was Du meinst, aber Du darfst hier eigentlich nicht dieses "genau die Vektoren" sagen. Denn die Menge die genau die (paarweise verschiedenen) Elemente [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] enthält, ist gerade [mm] $\{a_1,\ldots,a_n\}\,.$
[/mm]
Oben meintest Du: Es ist klar, dass es keinen "kleineren" Unterraum geben kann, der alle Vektoren aus [mm] $M\,$ [/mm] enthält. (Anders gesagt: Dass es keinen kleineren Unterraum geben kann, der [mm] $M\,$ [/mm] als Teilmenge enthält.)
Gruß,
Marcel
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