Lineare Hülle von Vektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 22.10.2008 | | Autor: | TheTim |
| Aufgabe | V ist ein Vektorraum über K. Überprüfe folgende Behauptungen für beliebige Teilmengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] von V.
a) [mm] Lin(M_1 \cup M_2)=Lin(M_1)+Lin(M_2)
[/mm]
b) [mm] Lin(M_1 \cap M_2)=Lin(M_1) \cap Lin(M_2) [/mm] |
Mir fehlt hier irgendwie der Ansatz. Woher weiß ich, was [mm] Lin(M_1 \cup M_2) [/mm] und [mm] Lin(M_1 \cap M_2) [/mm] und [mm] Lin(M_1) \cap Lin(M_2) [/mm] ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mi 22.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> a) [mm]Lin(M_1 \cup M_2)=Lin(M_1)+Lin(M_2)[/mm]
> b) [mm]Lin(M_1 \cap M_2)=Lin(M_1) \cap Lin(M_2)[/mm]
>
> Mir fehlt hier irgendwie der Ansatz. Woher weiß ich, was
> [mm]Lin(M_1 \cup M_2)[/mm] und [mm]Lin(M_1 \cap M_2)[/mm] und [mm]Lin(M_1) \cap Lin(M_2)[/mm] ist...
Ok also als erstes solltest du dir mal ne Vermutung überlegen, welche der Aussagen vielleicht wahr ist und welche falsch. Falls du denkst eine Aussage ist falsch, dann versuche dir ein Gegenbeispiel zu überlegen. Wenn du beweisen willst, dass zwei Mengen gleich sind, dann musst du zeigen, dass jede in beide in der jeweils anderen enthalten sind, d.h. [mm] $$A=B\gdw A\subset B\wedge A\supset [/mm] B$$ Wie aber beweist man, dass [mm]A\subset B[/mm] ist? Dazu sagt man sich einfach "Sei [mm]a\in A[/mm] beliebig" und muss dann folgern, dass auch [mm] $a\in [/mm] B$ liegt.
z.B. bei Aufgabe a): Ich will zeigen dass [mm] $Lin(M_1\cup M_2)\subset Lin(M_1)+Lin(M_2$ [/mm] ist. Also nehme ich mir mal einen beliebigen Vektor [mm] $v\in Lin(M_1\cup M_2)$, [/mm] das heißt nach Definition der Linearen Hülle, dass v sich so schreiben lässt: [mm] $$v=\sum_{u\in M_1\cup M_2}\lambda_u\cdot [/mm] m$$ Wir wollen zeigen, dass dann v auch in [mm] $Lin(M_1)+ Lin(M_2)$ [/mm] ist, d.h. wir müssen v schreiben in der Form [mm] $$v=\left(\sum_{v\in M_1}\lambda_v\cdot m\right)+\left(\sum_{w\in M_2}\lambda_w\cdot w\right)$$ [/mm] Wir müssten also die erste Summe irgendwie aufteilen, dann denk mal scharf nach wie und warum man das machen darf 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Mi 22.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Danke für diese sehr gute und ausführliche Erklärung, Robert
Ich muss aufgrund einer Krankheit vorerst daheim bleiben und dieses Forum hilft mir, trotzdem die wöchentlichen Übungsblätter zu bearbeiten.
Viele Grüße,
Tim
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