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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:14 Mi 06.08.2014 | | Autor: | BlueMoon92 |
| Aufgabe | Lineare vs. Nichtlineare Optimierung
A) Eine Firma produziert anlässlich der diesjährigen Fußballweltmeisterschaft Trikots zu 100€ je Stück. Bei diesem Stückpreis erwartet das Unternehmen wöchentlich eine durchschnittliche Interessentenmenge von 1 900 Kunden. Das Unternehmen beschloss, den Stückpreis pro Folgewoche jeweils um 5€ mehr zu senken. Es wurde festgestellt, dass bei einer Preissenkung von 5€ durchschnittlich 60 Kunden mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 10€ durchschnittlich 120 Kunden mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 15€ durchschnittlich 180 Kunden mehr zu erwarten sind, etc. Nach der wievielten Preissenkung macht das Unternehmen maximalen Umsatz? Wie hoch ist dieser?
B) Eine Großhandlung will für Kosten von maximal 20 160€ ihren Lagerbestand an Geräten G1 und G2 aufstocken. Gerät G1 kosten im Einkauf 1 260€, während Gerät G2 nur 420€ kostet. Aufgrund der Nachfrage soll von Gerät G1 mind. 30% bis maximal 50% der Geräte G2 auf Lager genommen werden. Der Stückgewinn bei Gerät G1 liegt bei 120€ und bei Gerät G2 bei 60€.
Wie viele Geräte sollten von jedem Typ eingekauft werden, um den Gewinn zu maximieren? Wie hoch ist der maximale Gewinn?
Entscheiden Sie mit Begründung, ob beide Aufgaben lineare Optimierungsaufgaben sind. Geben Sie dazu zu beiden Aufgaben jeweils sinnvoll eingeführte Variable, die Zielfunktion und die Restriktionen an. |
Wie findet man heraus, ob oben eine Lineare oder Nichtlineare Optimierung vorliegt? Worauf muss ich achten? Kann man auch bei einer Nichtlinearen Optimierung die eingeführte Variable, die Zielfunktion und die Restriktionen angeben?
Meine Vorschläge:
A) Nichtlineare Optimierung - Hierbei handelt es sich nur um eine wöchentliche Preissenkung. Die stabile Verteilung nach n-Wochen wird gesucht.
Trikotpreis je Stk. Kundenanzahl
1. Woche: 100 € (keine Senkung) 1900 (keine Kunden mehr)
2. Woche: 95 € (5€ Senkung) 1960 (60 Kunden mehr)
3. Woche: 90 € (10€ Senkung) 2020 (120 Kunden mehr)
4. Woche: 85 € (15€ Senkung) 2080 (180 Kunden mehr)
Umsätze: durchschnittliche Interessenten (1900):
1. Woche: 100*1900 = 190000€ /1900 = 100€
2. Woche: 95*1960 = 186200€ /1900 = 98€
3. Woche: 90*2020 = 181800€ /1900 = 95,684€
4. Woche: 85*2080 = 176800€ /1900 = 93,053€
Das Unternehmen macht bei einer Preissenkung von 0€ in der 1. Woche mit 100€ pro Trikots den größten Umsatz.
B) Lineare Optimierung - Hierbei handelt es sich um einen Vergleich, um die Geräteanzahl herauszufinden, womit man den höchsten Gewinn erzielen kann.
G1 G2
Kosten: 1260€ 420€ max. 20160€
Anzahl: x y (30%-50% von G2 auf Lager nehmen)
Gewinn: 120€ 60€
Nichtnegativitätsbedingung:
x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0
Restriktionen:
1260x + 420y [mm] \le [/mm] 20160
Zielfunktion:
Z = 1260x +420y
Weiter weiß ich nicht mehr.....
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Hallo Bluemoon92,
ich vermute, dass deine Annahmen (A nichtlinear, B linear)
richtig sind.
Bei Aufgabe A scheint mir aber etwas nicht klar. Da steht
einerseits:
> Es wurde festgestellt, dass
> bei einer Preissenkung von 5€ durchschnittlich 120 Kunden
> mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 15€
> durchschnittlich 180 Kunden mehr zu erwarten sind, etc.
Den entsprechenden Zusammenhang tabellierst du dann aber so:
> Trikotpreis je Stk. Kundenanzahl
> 1. Woche: 100 € (keine Senkung) 1900
> (keine Kunden mehr)
> 2. Woche: 95 € (5€ Senkung) 1960 (60
> Kunden mehr)
> 3. Woche: 90 € (10€ Senkung) 2020
> (120 Kunden mehr)
> 4. Woche: 85 € (15€ Senkung) 2080
> (180 Kunden mehr)
Ich vermute, dass deine Tabelle vermutlich der eigentlich
gemeinten Aufgabe entspricht und dass du möglicherweise
bei der Wiedergabe des Aufgabentextes einen kleinen Fehler
gemacht hast. Sollte da nicht vielleicht stehen:
> Es wurde festgestellt, dass
> bei einer Preissenkung von 5€ durchschnittlich 60 Kunden
> mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 10€
> 120 mehr, bei einer Preissenkung von 15€ 180 mehr, etc.
So wie die Aufgabe oben steht, ist nämlich kaum zu eruieren,
wie denn das "etc." im Text überhaupt zu interpretieren ist.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 06.08.2014 | | Autor: | BlueMoon92 |
Ich bin leider beim abschreiben eine Zeile verrutscht und deswegen hatte da ein Teil gefehlt. Ich habe es jetzt richtig eingefügt und nochmal kontrolliert. Sorry.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Lineare vs. Nichtlineare Optimierung
>
> A) Eine Firma produziert anlässlich der diesjährigen
> Fußballweltmeisterschaft Trikots zu 100€ je Stück. Bei
> diesem Stückpreis erwartet das Unternehmen wöchentlich
> eine durchschnittliche Interessentenmenge von 1 900 Kunden.
> Das Unternehmen beschloss, den Stückpreis pro Folgewoche
> jeweils um 5€ mehr zu senken. Es wurde festgestellt, dass
> bei einer Preissenkung von 5€ durchschnittlich 120 Kunden
> mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 15€
> durchschnittlich 180 Kunden mehr zu erwarten sind, etc.
>
Ich denke auch, dass an dieser Angabenformulierung etwas nicht stimmen kann.
Du nimmst in deiner Tabelle dann auch an, dass je 5 Euro Preisreduktion im Schnitt 60 Kunden mehr zu erwarten sind. Unter dieser Annahme würde sich der maximale Umsatz bei einem Preis von EUR 129,17 einstellen. Nimmt man 120 Kunden mehr pro EUR 5 Preisreduktion an, dann wäre der maximale Umsatz bei einem Verkaufspreis von EUR 89,58 gegeben und das Beispiel würde schon ein wenig mehr Sinn machen.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 06.08.2014 | | Autor: | BlueMoon92 |
Ich bin leider beim abschreiben eine Zeile verrutscht und deswegen hatte da ein Teil gefehlt. Jetzt sollte die Aufgabenstellung komplett stimmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Lineare vs. Nichtlineare Optimierung
>
> A) Eine Firma produziert anlässlich der diesjährigen
> Fußballweltmeisterschaft Trikots zu 100€ je Stück. Bei
> diesem Stückpreis erwartet das Unternehmen wöchentlich
> eine durchschnittliche Interessentenmenge von 1 900 Kunden.
> Das Unternehmen beschloss, den Stückpreis pro Folgewoche
> jeweils um 5€ mehr zu senken. Es wurde festgestellt, dass
> bei einer Preissenkung von 5€ durchschnittlich 60 Kunden
> mehr zu erwarten sind, bei einer Preissenkung von 10€
> durchschnittlich 120 Kunden mehr zu erwarten sind, bei
> einer Preissenkung von 15€ durchschnittlich 180 Kunden
> mehr zu erwarten sind, etc. Nach der wievielten
> Preissenkung macht das Unternehmen maximalen Umsatz? Wie
> hoch ist dieser?
>
> B) Eine Großhandlung will für Kosten von maximal 20
> 160€ ihren Lagerbestand an Geräten G1 und G2 aufstocken.
> Gerät G1 kosten im Einkauf 1 260€, während Gerät G2
> nur 420€ kostet. Aufgrund der Nachfrage soll von Gerät
> G1 mind. 30% bis maximal 50% der Geräte G2 auf Lager
> genommen werden. Der Stückgewinn bei Gerät G1 liegt bei
> 120€ und bei Gerät G2 bei 60€.
> Wie viele Geräte sollten von jedem Typ eingekauft werden,
> um den Gewinn zu maximieren? Wie hoch ist der maximale
> Gewinn?
>
> Entscheiden Sie mit Begründung, ob beide Aufgaben lineare
> Optimierungsaufgaben sind. Geben Sie dazu zu beiden
> Aufgaben jeweils sinnvoll eingeführte Variable, die
> Zielfunktion und die Restriktionen an.
>
>
> Wie findet man heraus, ob oben eine Lineare oder
> Nichtlineare Optimierung vorliegt? Worauf muss ich achten?
> Kann man auch bei einer Nichtlinearen Optimierung die
> eingeführte Variable, die Zielfunktion und die
> Restriktionen angeben?
>
> Meine Vorschläge:
> A) Nichtlineare Optimierung - Hierbei handelt es sich nur
> um eine wöchentliche Preissenkung. Die stabile Verteilung
> nach n-Wochen wird gesucht.
>
> Trikotpreis je Stk. Kundenanzahl
> 1. Woche: 100 € (keine Senkung) 1900
> (keine Kunden mehr)
> 2. Woche: 95 € (5€ Senkung) 1960 (60
> Kunden mehr)
> 3. Woche: 90 € (10€ Senkung) 2020
> (120 Kunden mehr)
> 4. Woche: 85 € (15€ Senkung) 2080
> (180 Kunden mehr)
>
> Umsätze: durchschnittliche
> Interessenten (1900):
> 1. Woche: 100*1900 = 190000€ /1900 = 100€
> 2. Woche: 95*1960 = 186200€ /1900 = 98€
> 3. Woche: 90*2020 = 181800€ /1900 =
> 95,684€
> 4. Woche: 85*2080 = 176800€ /1900 =
> 93,053€
>
> Das Unternehmen macht bei einer Preissenkung von 0€ in
> der 1. Woche mit 100€ pro Trikots den größten Umsatz.
Das stimmt wohl mit dieser Angabe, aber Ausprobieren ist nicht unbedingt die bevorzugte Lösungsmethode. Angesehen davon könnte ja (theoretisch, hier natürlich nicht) der Umsatz nach der vierten Woche wieder steigen. Überdies geht aus dem Lösungsansatz ja auch nicht hervor, warum es sich um kein lineares Problem handelt.
Nummeriere die Wochen am besten bei 0 beginnend und stelle eine Zielfunktion auf, welche den Umsatz in Abhängigkeit der Wochennummer n angibt. Pro Woche verringert sich der Preis um EUR 5.- und die Anzahl der Kunden erhöht sich um 60. Die Zielfunktion wird quadratisch sein, das Maximum sich für negatives n errechnen und für n>0 ist sie monoton fallend. Daraus ergibt sich dann das von dir bereits angegebene Ergebnis.
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> B) Lineare Optimierung - Hierbei handelt es sich um einen
> Vergleich, um die Geräteanzahl herauszufinden, womit man
> den höchsten Gewinn erzielen kann.
>
> G1 G2
> Kosten: 1260€ 420€ max. 20160€
> Anzahl: x y (30%-50% von G2 auf
> Lager nehmen)
> Gewinn: 120€ 60€
>
> Nichtnegativitätsbedingung:
> x [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] y [mm]\ge[/mm] 0
Hier sollte auch die prozentuelle Beschränkung von y in Form einer Ungleichungskette ihren Niederschlag finden (100% ... x+y).
> Restriktionen:
> 1260x + 420y [mm]\le[/mm] 20160
>
> Zielfunktion:
> Z = 1260x +420y
Nein! Das ist nicht die Zielfunktion. Hier müssen die angegebenen Gewinne (120,-; 60.-) die Koeffizienten bilden.
RMix
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