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| Aufgabe | Ein Wolkenkratzer in den Tropen (Höhe H=1000m, Breite b=50m, Länge l=100m) soll klimatisiert werden, d.h. die Innentemperatur des Gebäudes soll konstant [mm] T_i=20° [/mm] betragen. Die Außentemperatur sinkt an einem Sommertag vom Erdboden von [mm] T_0=40° [/mm] bis auf [mm] T_H=10° [/mm] in 1000m Höhe linear ab. Die Außenwände des Gebäudes bestehen im Wesentlichen aus Glas [mm] (\lambda_G=1,18W/mK) [/mm] der Dicke d=1m.
a) In welcher Höhe [mm] (h_0)ist [/mm] die Außentemperatur der Luft gerade gleich der Innentemperatur [mm] T(h_0)=T_i?
[/mm]
b) Welche Wärme strömt im unteren Teil des Gebäudes [mm] (h |
Hallo,
ich hoffe ich bin im richtigem Forum.
zu a) als Ansatz wird diese Gleichung genommen:
[mm] H/(T_0-T_H)=h_0/(T_0-T_i)
[/mm]
Wie kommt man auf diese Gleichung?
b) die Formel für den Wärmestrom lautet:
[mm] dQ*=\lambda*(dA/d)*(T(h)-T_i))
[/mm]
mit dA=2l+b dh
aber wie kommt dieses dA=2l+b dh zustande? Die lineare Steigung setzt sich ja zusammen aus y=ax+b. Warum wird in diesem Fall für m=2 genommen?
lg blumich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi blumich,
> Ein Wolkenkratzer in den Tropen (Höhe H=1000m, Breite
> b=50m, Länge l=100m) soll klimatisiert werden, d.h. die
> Innentemperatur des Gebäudes soll konstant [mm]T_i=20°[/mm]
> betragen. Die Außentemperatur sinkt an einem Sommertag vom
> Erdboden von [mm]T_0=40°[/mm] bis auf [mm]T_H=10°[/mm] in 1000m Höhe
> linear ab. Die Außenwände des Gebäudes bestehen im
> Wesentlichen aus Glas [mm](\lambda_G=1,18W/mK)[/mm] der Dicke d=1m.
>
> a) In welcher Höhe [mm](h_0)ist[/mm] die Außentemperatur der Luft
> gerade gleich der Innentemperatur [mm]T(h_0)=T_i?[/mm]
>
> b) Welche Wärme strömt im unteren Teil des Gebäudes
> [mm](h
> Hallo,
>
> ich hoffe ich bin im richtigem Forum.
>
> zu a) als Ansatz wird diese Gleichung genommen:
>
> [mm]H/(T_0-T_H)=h_0/(T_0-T_i)[/mm]
> Wie kommt man auf diese Gleichung?
Die Aussentemperatur [mm] T_A(h) [/mm] ist eine in h (Höhe in m) lineare Funktion, hat also die Form [mm] T_A(h)=m*h+T_0, [/mm] wobei m die Steigung und [mm] T_0 [/mm] die Temperartur in Höhe h=0 ist. Die Steigung ermittelt man als Steigungsdreieck aus [mm] \bruch{\Delta T}{\Delta h}=\bruch{T_0-T_H}{0-H}=-\bruch{T_0-T_H}{H}. [/mm] Die Funktion lautet also [mm] T_A(h)=-\bruch{T_0-T_H}{H}*h_0+T_0. [/mm] Gesucht, ist nun [mm] h_0, [/mm] sodass [mm] T_A(h_0)=T_i, [/mm] also
[mm] -\bruch{T_0-T_H}{H}*h_0+T_0=T_i [/mm]
Wenn man das umformt, dann stehts da.
>
> b) die Formel für den Wärmestrom lautet:
> [mm]dQ*=\lambda*(dA/d)*(T(h)-T_i))[/mm]
>
> mit dA=2l+b dh
>
> aber wie kommt dieses dA=2l+b dh zustande? Die lineare
> Steigung setzt sich ja zusammen aus y=ax+b. Warum wird in
> diesem Fall für m=2 genommen?
>
> lg blumich
Da weiss ich nicht, ob ich dir helfen kann, weil ich von Haus aus kein Physiker/Ingenieur bin.
Kannst du die Formel für [mm] \dot{Q} [/mm] nochmal erläutern /schöner aufschreiben? Insbesondere, was mit dA/d gemeint ist. In der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia steht im Nenner einfach die Dicke, im Zähler einfach die Fläche (im Zähler [mm] \lambda [/mm] und [mm] $\Delta [/mm] T$ habt ihr ja beide).
Vermutung: Da der Temperaturunterschied ja nicht auf der ganzen Fläche konstant ist, muss man in kleine Teilfächen zerlegen und dann das Produkt aus Flächenstück und Temperaturunterschied aufsummieren. Ist mit dA ein infinitesimales Flächenstück gemeint? Und mit [mm] d\dot{Q} [/mm] meinst du dann den Wärmestrom für ein kleines Flächenstück? Die Gesamtfläche wäre doch dann 4 Rechtecke, jedes mit der Höhe h und je zwei (gegenüberliegend) mit einmal mit Breite(=Breite des Turms) b und je zwei mit der Breite(=Länge des Turms) l. Also [mm] $A=h\cdot [/mm] l*2+h*b*2=h*2(b+l)$ Kann es sein, dass du oben eine Klammer vergessen hast? Dann passt es doch: [mm] $dA=2(b+l)\cdot [/mm] dh$.
Vielleicht liest das ja auch noch jemand, der sofort weiss, was los ist, ich lasse es mal unbeantwortet.
LG walde
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vielen Dank für deine Antwort :)
Ich habe leider noch eine Frage und zwar du hast für die Steigung geschrieben:
m=- [mm] T_0+T_H/H
[/mm]
müsste das aber nicht m= [mm] T_H+T_0/H [/mm] heißen?? Denn die Steigung setzt sich doch zusammen aus [mm] m=y_2-y_1/x_2-x_1 [/mm] und in diesem Fall müsste doch [mm] y_2=T_H [/mm] und [mm] y_1=T_0 [/mm] sein, oder nicht???
Wo ist mein Denkfehler?
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Hallo blumich86,
> vielen Dank für deine Antwort :)
> Ich habe leider noch eine Frage und zwar du hast für die
> Steigung geschrieben:
>
> m=- [mm]T_0+T_H/H[/mm]
>
> müsste das aber nicht m= [mm]T_H+T_0/H[/mm] heißen?? Denn die
Nein, die Formel für die Steigung ist schon richtig:
[mm]m=\bruch{T_{H}-T_{0}}{H}[/mm]
> Steigung setzt sich doch zusammen aus [mm]m=y_2-y_1/x_2-x_1[/mm] und
> in diesem Fall müsste doch [mm]y_2=T_H[/mm] und [mm]y_1=T_0[/mm] sein, oder
> nicht???
> Wo ist mein Denkfehler?
Gruss
MathePower
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es gilt:
[mm] dQ=\lambda*\bruch{A}{d}*\Delta [/mm] T
Jetzt willst du aber den Strom nicht nur an einer Stelle sonder an der ganzen Wand. Das Problem ist aber das der Wärmestrom ja nicht überall gleich ist sonder mit der höhe abnimmt. Darum wird aus dem A ein dA. Und das dA=(2l+2b)*dh
denn du hast 4 Wände. 2 mal mit der Länge l und 2 mal mit der Länge b. Dies musste du mit der Wandhöhe Multiplizieren, damit du die Wandfläche hast. Aber hier nhemen wir dh damit wir über die Höhe integrieren können, da ja die Temp mit der höhe abnimmt.
somit:
[mm] dQ=\lambda*\bruch{(2l+2b)*dh}{d}*\Delta [/mm] T
und weiter haben wir [mm] \Delta T=T(h)-T_{i}
[/mm]
Also:
[mm] dQ=\lambda*\bruch{(2l+2b)*dh}{d}*(T(h)-T_{i})
[/mm]
nun setz man für T(h) die Funktion ein die man bei der a berechnet hat:
[mm] dQ=\lambda*\bruch{(2l+2b)*dh}{d}*(-\bruch{T_0-T_H}{H}\cdot{}h+T_0-T_{i})
[/mm]
So das darfst du nun vereinfachen und dann nach dh von 0 bis h0 integrieren.
MfG
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