Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 31.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Sei f : V → V eine lineare Abbildung und v ∈ V ein Vektor mit f(v) [mm] \not= [/mm] 0 und (f ◦ f)(v) = 0. Zeigen Sie,
dass dann v und f(v) linear unabhängig sind. |
Also ich soll jetzt zeigen, dass
[mm] \alpha [/mm] v + [mm] \beta [/mm] f(v) = 0 , wobei [mm] \alhpa,\beta \in \IK
[/mm]
Kann mir jemand ein bisschen näherbringen was ich weiter machen soll ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 31.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine def. von linear unabhöngig, bzw was du schreibst, dass du zeigen sollst ist so falsch. wenn du es erstmal richtig machst, dann wende f auf die Gleichung an, und benutze die Linearizät von f
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 31.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f : V → V eine lineare Abbildung und v ∈ V ein
> Vektor mit f(v) [mm]\not=[/mm] 0 und (f ◦ f)(v) = 0. Zeigen Sie,
> dass dann v und f(v) linear unabhängig sind.
> Also ich soll jetzt zeigen, dass
> [mm]\alpha[/mm] v + [mm]\beta[/mm] f(v) = 0 , wobei [mm]\alhpa,\beta \in \IK[/mm]
nein, zu zeigen ist, dass
[mm] $\alpha v+\beta [/mm] f(v)=0$
[mm] $\iff$ $\alpha=\beta=0\,.$
[/mm]
Dabei ist nur [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] interessant.
> Kann mir jemand ein bisschen näherbringen was ich weiter
> machen soll ?
Klar: Es sei
[mm] $\alpha v+\beta [/mm] f(v)=0$.
Wegen [mm] $f(0)=0\,$ ($f\,$ [/mm] ist ja linear und lineare Abbildungen bilden den Nullvektor auf den
Nullvektor ab!)
[mm] $0=f(0)=f(\alpha v+\beta [/mm] f(v))$
Jetzt Du! (Nutze die Linearität von [mm] $f\,$ [/mm] und bedenke $f(f(v))=(f [mm] \circ [/mm] f)(v)$.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
also
[mm] 0=f(0)=f(\alpha v+\beta [/mm] f(v))
= [mm] f(\alpha [/mm] v) + [mm] f(\beta [/mm] f(v)))
= [mm] f(\alpha [/mm] v) + (f [mm] \circ \beta [/mm] f)(v)
bin bis dahin gekommen, kannst du mir mal helfen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:06 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> also
> [mm]0=f(0)=f(\alpha v+\beta[/mm] f(v))
> = [mm]f(\alpha[/mm] v) + [mm]f(\beta[/mm] f(v)))
> = [mm]f(\alpha[/mm] v) + (f [mm]\circ \beta[/mm] f)(v)
= [mm] \alpha [/mm] f(v)+ [mm] \beta [/mm] f(f(v))= [mm] \alpha [/mm] f(v)
FRED
> bin bis dahin gekommen, kannst du mir mal helfen ?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Aus
[mm]\alpha[/mm] f(v)+ [mm]\beta[/mm] f(f(v))= [mm]\alpha[/mm] f(v)
folgt aber nicht, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = 0
Da, f(f(v)) = 0, kann [mm] \beta [/mm] beliebig gewählt werden, oder nicht ?
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Hiho,
> Aus
>
> [mm]\alpha[/mm] f(v)+ [mm]\beta[/mm] f(f(v))= [mm]\alpha[/mm] f(v)
>
>
> folgt aber nicht, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = 0
> Da, f(f(v)) = 0, kann [mm]\beta[/mm] beliebig gewählt werden, oder
> nicht ?
Korrekt.
Das meinte Fred aber auch gar nicht!
Vielmehr nur die linke Seite, die da ja bekanntlich lautet:
[mm] $f(\alpha [/mm] v + [mm] \beta [/mm] f(v)) = [mm] \alpha [/mm] f(v) + [mm] \beta [/mm] f(f(v)) = [mm] \alpha [/mm] f(v) + [mm] \beta [/mm] * 0 = [mm] \alpha [/mm] f(v)$
Für die rechte Seite erhielt man $f(0) = 0$
Welche Gleichung steht da also?
Was folgt daraus?
Verwende das in der Ursprungsgleichung.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aus
>
> [mm]\alpha[/mm] f(v)+ [mm]\beta[/mm] f(f(v))= [mm]\alpha[/mm] f(v)
>
>
> folgt aber nicht, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = 0
> Da, f(f(v)) = 0, kann [mm]\beta[/mm] beliebig gewählt werden, oder
> nicht ?
bei Fred steht (ich kennzeichne mal das Wichtigste)
> $ [mm] \red{\mathbf{0}}=f(0)=f(\alpha v+\beta [/mm] $ f(v))
> = $ [mm] f(\alpha [/mm] $ v) + $ [mm] f(\beta [/mm] $ f(v)))
> = $ [mm] f(\alpha [/mm] $ v) + (f $ [mm] \circ \beta [/mm] $ f)(v)
= $ [mm] \alpha [/mm] $ f(v)+ $ [mm] \beta [/mm] $ f(f(v))= $ [mm] \red{\mathbf{\alpha f(v)}}$ [/mm]
Jetzt steht in der Aufgabe:
> ...ein Vektor mit f(v) $ [mm] \not= [/mm] $ 0 ...
Also was folgt für [mm] $\alpha$ [/mm] sodann?
Setze das Ergebnis in
> $ [mm] \alpha [/mm] $ v + $ [mm] \beta [/mm] $ f(v) = 0
ein, und bedenke nochmals, dass $f(v) [mm] \neq [/mm] 0$ war; was folgt für [mm] $\beta$ [/mm] dann?
P.S. Aber bitte NIRGENDS durch [mm] $f(v)\,$ [/mm] teilen, sondern eher den richtigen Satz
aus dem Skript heranziehen, oder selbst überlegen:
Ist [mm] $W\,$ [/mm] ein VR über einem Körper [mm] $K\,,$ [/mm] so gilt: Aus [mm] $r*w=0_W$ [/mm] (rechts steht der
Nullvektor aus W!) folgt [mm] $r=0\,$ [/mm] (die Null des Körpers!) oder [mm] $w=0_W\,.$
[/mm]
(Dabei $r [mm] \in [/mm] K$ und $w [mm] \in W\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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