Lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 29.05.2006 | | Autor: | creeps |
| Aufgabe | Es sei (v1, ..., vn) ein linear unabhängiges System eines K-Vektorraumes V; untersuchen Sie die folgenden Systeme :
Untersuchen Sie (v1 , v1 + v2, v1 + v2 + v3, . .. , v(n- 1) + vn) auf lineare Unabhängigkeit. |
Hallo!
Diese Aufgabe soll ich lösen, nur leider leuchtet mir nicht so ganz ein wie. Das liegt wohl daran, daß ich etwas an der Definition für lineare Unabhängigkeit nicht so ganz verstehe. Denn da heißt es ja, daß ich jedes v mit einem Lambda multipliziere und dann mit dem folgenden v *Lambda addiere und dies soll gleich 0 sein. Soweit ok, aber dann folgt das verwirrende (für mich), ist der Term gleich 0 so sind alle Lambda = 0.
Was ich nicht verstehe ist, daß es dann überhaupt linear abhängige Systeme gibt, denn sobald ich Lambda =0 setze, is der Term doch immer 0.
Kann mir evtl. jemand meinen Denkfehler erklären?
Vielleicht finde ich dann auch einen Ansatz, wie ich die Aufgabe oben lösen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen.
Einen schönen Abend wünscht,
Jess
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jess,
schauen wir uns das ganze nochmal an einem Beispiel an:
[mm]\lambda_1 \vektor{1\\0} + \lambda_2 \vektor{2\\0}=0[/mm]
Wie Du richtig erkannt hast findet man immer eine Lösung für solche Gleichungen, wenn man alle [mm] \lambda [/mm] gleich 0 setzt. Untersucht man die vorliegenden Vektoren aber auf lineare (un-)abhängigkeit, so ist die Frage, ob die [mm] \lambda [/mm] zwangsläufig alle 0 sein müssen, oder ob es nicht noch irgendeine andere Möglichkeit gibt, diese Gleichung zu erfüllen.
Im Beispiel tut es zwar [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] , aber genauso gut würde auch [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1 [/mm] funktionieren. Es gibt also noch eine weitere Lösung, d.h. die Vektoren sind linear abhängig.
Wie sieht das ganze jetzt bei folgender Gleichung aus?
[mm]\lambda_1 \vektor{1\\0} + \lambda_2 \vektor{0\\2}=0[/mm]
Ist jetzt schon etwas klarer, wie Du an die Aufgabe rangehen musst?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 29.05.2006 | | Autor: | creeps |
Hallo Piet,
danke für Deine Antwort.
Dein letztes Beispiel ist also auch linear abhängig, da [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] nicht Null sein müssen, damit die Gleichung gleich 0 wird, richtig?
Über einen Ansatz mit lauter "Variablen" werde ich heute nacht mal nachdenken, im Moment fällt mir leider nichts ein. Außer, daß ich Vektoren finden müßte die alle zusammen 0 ergeben.
Vielen Dank nochmal,
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hallo Piet,
>
> danke für Deine Antwort.
> Dein letztes Beispiel ist also auch linear abhängig, da
> [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] nicht Null sein müssen, damit die
> Gleichung gleich 0 wird, richtig?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wenn Du mir jetzt solche Werte für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] sagen kannst, dann gebe ich mich geschlagen. Ansonsten behaupte ich: linear unabhängig!
>
> Über einen Ansatz mit lauter "Variablen" werde ich heute
> nacht mal nachdenken, im Moment fällt mir leider nichts
> ein. Außer, daß ich Vektoren finden müßte die alle zusammen
> 0 ergeben.
>
> Vielen Dank nochmal,
> Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mo 29.05.2006 | | Autor: | creeps |
Ohje, da hab ich statt zu addieren multipliziert!
Sowas dummes...
Natürlich findet sich kein $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ * 0= -1 .
Von daher ist es, wie Du sagst linear unabhängig.
Danke nochmals,
Jess
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