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| Aufgabe | Sei M={1 , i , [mm] \wurzel{2} [/mm] } Teilmenge von [mm] \IC [/mm] (als [mm] \IQ [/mm] - Vektorraum)
Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Menge M linear unabhängig ist. |
Also mir ist klar dass die obige Menge linear unabhängig ist,da [mm] \wurzel{2} [/mm] keine rationale Zahl ist, d.h. q* [mm] \wurzel{2} [/mm] ebenfalls nicht ; i ist ebenfalls nur komplex und weder reell noch rational , d.h. q*i ist weiterhin nur komplex und q*1 ist rational.
Mein Problem ist , das obige "Wissen" zu verwenden, um die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen. Ich muss schließlich zeigen, dass für [mm] q(0),q(1),q(2)\in\IQ\sub [/mm] gilt:
q(0)*1 + q(1)*i + q(2)* [mm] \wurzel{2} [/mm] = 0 => q(0),q(1),q(2) = 0
Wäre echt nett wenn mir jemand erklären könnte, wie ich das hierbei zeigen kann.
Mein Ansatz war, einfach die drei mögl. Fälle zu unterscheiden, d.h. bspw.:
1. q(0) [mm] \ne [/mm] 0 => (-q(1)/q(0))*i + (-q(2)/(q(0))* [mm] \wurzel{2} [/mm] = 1
Was nicht möglich ist, da (-q(1)/q(0)) und (-(q(2)/q(0)) rational sind und damit (-q(1)/q(0))*i wiederum nur komplex bzw. (-(q(2)/q(0))* [mm] \wurzel{2} [/mm] nur reell.
Das Gleiche hab ich dann für die beiden anderen Fälle durchgeführt und dann bewiesen, dass q(0),q(1),q(2) = 0 sein müssen.
Wäre echt nett wenn mir jemand sagen könnte, ob der Ansatz richtig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Salvathrax,
> Sei [mm]M={1 , i , \wurzel{2} }[/mm] Teilmenge von [mm]\IC[/mm] (als [mm]\IQ[/mm] -
> Vektorraum)
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> Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Menge M linear
> unabhängig ist.
> Also mir ist klar dass die obige Menge linear unabhängig
> ist,da [mm]\wurzel{2}[/mm] keine rationale Zahl ist, d.h. q*
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ebenfalls nicht ; i ist ebenfalls nur komplex
> und weder reell noch rational , d.h. q*i ist weiterhin nur
> komplex und q*1 ist rational.
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> Mein Problem ist , das obige "Wissen" zu verwenden, um die
> lineare Unabhängigkeit nachzuweisen. Ich muss schließlich
> zeigen, dass für [mm]q(0),q(1),q(2)\in\IQ\sub[/mm] gilt:
>
> q(0)*1 + q(1)*i + q(2)* [mm]\wurzel{2}[/mm] = 0 => q(0),q(1),q(2) =
> 0
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> Wäre echt nett wenn mir jemand erklären könnte, wie ich das
> hierbei zeigen kann.
> Mein Ansatz war, einfach die drei mögl. Fälle zu
> unterscheiden, d.h. bspw.:
> 1. q(0) [mm]\ne[/mm] 0 => (-q(1)/q(0))*i + (-q(2)/(q(0))*
> [mm]\wurzel{2}[/mm] = 1
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> Was nicht möglich ist, da (-q(1)/q(0)) und (-(q(2)/q(0))
> rational sind und damit (-q(1)/q(0))*i wiederum nur komplex
> bzw. (-(q(2)/q(0))* [mm]\wurzel{2}[/mm] nur reell.
Kannst Du sicherlich so machen; aber es geht auch einfacher:
Da [mm] $q_0+q_1i +q_2\wurzel[2]=0$, [/mm] muß auch ihr Betrag (als komplexe Zahl) 0 sein; also gilt [mm][mm] (q_0 +q_2\wurzel[2])^2 +q_1^2=0$. [/mm] Denk dran, daß, wenn die Summe von Quadraten reeller Zahlen 0 ist, auch die Summanden =0 sein müssen.
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Salvathras |
Ach ja, genau - und die Quadrate zweier Zahlen ergeben nur dann Null in diesem Fall, wenn die einzelnen Summanden Null werden (eben weil q(0) + q(2)* [mm] \wurzel{2} [/mm] ) nur dann Null sein kann, wenn q(0) und q(2) jeweils Null sind (weil [mm] \wurzel{2} [/mm] schließlich keine rationale Zahl ist) . Naja, die einfachsten Lösungen übersieht man halt manchmal. Vielen Dank.
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