Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 08.04.2008 | | Autor: | Raiden82 |
| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] Vektoren aus einem Vektorraum V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
1: Die Vektoren $ [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] $ sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor als Linearkombination von [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] darstellen lässt.
2: Die Vektoren [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] sind linear unabhängig, wenn [mm] \vec{v_{1}}+\vec{v_{2}}+...+\vec{v_{n}} [/mm] = [mm] \vec{v_{0}} [/mm] gilt.
3: Die Vektoren [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor auf mehr als eine Weise als Linearkombination von [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...\vec{v_{n}} [/mm] darstellen lässt. |
Meine Ansatz
1: Falsch
2: Falsch
3: Wahr
Könnte das jemand überprüfen ?
Danke schonmal ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 08.04.2008 | | Autor: | algieba |
Hi
Ich würde es so sagen:
1) Wahr
2) Falsch
3) Falsch
denn:
Die Definition für Lineare Unabhängigkeit ist:
[mm] a_1*\vec{v_1}+a_2*a*\vec{v_2}+...+a_n*\vec{v_n}=0 \Rightarrow a_1, a_2, ... , a_n = 0[/mm]
Du schreibst also den Nullvektor als Linearkombination der Vektoren. Und diese Vektoren sind nur dann linear unabhängig wenn die einzige Lösung [mm]a_1, a_2, ... , a_n = 0[/mm] ist.
Damit ist die erste Aussage schon mal wahr.
Die 2. Aussage ist falsch weil [mm]\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}}+...+\vec{v_{n}} = \vec{v_0}[/mm] nichts anderes als [mm]1*\vec{v_{1}}+1*\vec{v_{2}}+...+1*\vec{v_{n}} = \vec{v_0}[/mm] ist, also ist [mm]a_1, a_2, ... , a_n = 0[/mm] nicht die einzige Lösung.
Die 3. Aussage ist auch falsch, weil man ja den Nullvektor nur auf eine Art als Linearkombination schreiben kann, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Viele Grüße
algieba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Di 08.04.2008 | | Autor: | Raiden82 |
Danke!! Meinen Denkfhler gefunden ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 08.04.2008 | | Autor: | Raiden82 |
Kann mir das nochmal wer anders bestätigen, verstehe die 3. Begründung nicht meines wissens müsste als Atwort falsch da stehen -.- oder bin ich so durcheinander ?.?
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Hallo!
Die Defintion der Linearen Unabhängigkeit weisst du ja oder spätestens nach dem Beitrag von algieba 
So die dritte aussage des satzes ist:
Die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2},..v_{n} [/mm] sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor auf mehr als eine Weise als Linearkombination von [mm] v_{1}, v_{2},...,v_{n} [/mm] darstellen lässt.
Und das widerspricht doch gerade der Definition der linearen unabhängigkeit.
[mm] \Rightarrow [/mm] falsche Aussage.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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