Lineare Vektorfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Gegeben sei das lineare Vektorfeld
F(x,y,z)=( 7x+6y+8z+3, ax+5y+4, bx+cy+9z [mm] )^{T} [/mm] mit [mm] a,b,c\in\IR.
[/mm]
Bestimmen Sie a,b und c derart, dass F über ein Potenzial [mm] \phi [/mm] verfügt.
b) Bestimmen Sie [mm] \phi. [/mm] |
Hallo,
ich habe nun die Aufgabenteile a,b gemacht, aber bei b) hängts ein wenig:
a) [mm] F(x,y,z)=\pmat{ f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z)}=\pmat{ 7x+6y+8z+3 \\ ax+5y+4 \\ bx+cy+9z }
[/mm]
[mm] \underline{Bedingungen}: [/mm]
[mm] f_{y}=g_{x}=6 [/mm] --> a=6
[mm] f_{z}=h_{x}=8 [/mm] --> b=8
[mm] g_{z}=h_{y}=0 [/mm] --> c=0
b) Aus Aufgabenteil a) erhält man:
[mm] 7x+6y+8z+3=\phi_{x}(x,y,z) [/mm] --> [mm] \phi(x,y,z) [/mm] = [mm] \integral{(7x+6y+8z+3)dx} [/mm] = [mm] \bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z)
[/mm]
so hier jetzt: wie soll ich c(y,z) bestimmen?
oder soll ich einfach mit dem Potenzial [mm] \phi_{y} [/mm] weitermachen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Differenziere $ [mm] \bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z) [/mm] $ nach y:
[mm] 6x+c_y
[/mm]
Das soll aber = g sein, also ist [mm] c_y= [/mm] 5y+4
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
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> Differenziere [mm]\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z)[/mm] nach y:
>
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> [mm]6x+c_y[/mm]
>
> Das soll aber = g sein, also ist [mm]c_y=[/mm] 5y+4
<-- wieso muss das g sein? warum nicht h oder sogar f, weil wenn ich f integriert habe und es wieder ableite muss wieder f heraus kommen? oder wie kommt man dazu?
sonst habe ich das schon verstanden^^
vielen dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Differenziere [mm]\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z)[/mm] nach y:
> >
> >
> > [mm]6x+c_y[/mm]
> >
> > Das soll aber = g sein, also ist [mm]c_y=[/mm] 5y+4
> <-- wieso muss das g sein? warum nicht h oder sogar f, weil
> wenn ich f integriert habe und es wieder ableite muss
> wieder f heraus kommen? oder wie kommt man dazu?
>
> sonst habe ich das schon verstanden^^
Bist Du sicher ???
Wir haben $ [mm] F(x,y,z)=\pmat{ f(x,y,z) \\ g(x,y,z) \\ h(x,y,z)} [/mm] $
Dass [mm] \Phi [/mm] ein Potential von F ist bedeutet doch:
[mm] \Phi_x=f, \Phi_y=g [/mm] und [mm] \Phi_z=h
[/mm]
FRED
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> vielen dank.
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> > > Differenziere [mm]\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z)[/mm] nach y:
> > >
> > >
> > > [mm]6x+c_y[/mm]
> > >
> > > Das soll aber = g sein, also ist [mm]c_y=[/mm] 5y+4
so jetzt integriere ich 5y+4 nach y --> [mm] \bruch{5}{2}y^{2}+4y [/mm] ***
addiere zum potenzial: [mm] \phi(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+\bruch{5}{2}y^{2}+4y
[/mm]
das wars oder kommt noch was?
***Müsste theoretisch nicht hier eine konstante hinzugefügt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Nein das wars noch nicht.
Wir halten fest: c = [mm] \bruch{5}{2}*y^{2} [/mm] + 4y + s(x,z)
, wobei s eine Funktion ist. Ich habe geschrieben s(x,z). Das kommt aus dem integrieren nach y. Denkt man noch ein bisschen weiter, kann s aber nur noch von z abhängen. Also s(x,z) wird zu s(z)
Also...
[mm] \phi(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+\bruch{5}{2}y^{2}+4y [/mm]
nach z ableiten!
8*x + [mm] c_{z} [/mm] = 8x + 9z
---> [mm] c_{z} [/mm] = 9z ---> c = [mm] \bruch{9}{2}*z^{2} [/mm] + s(x,y)
und jetzt kann aber auch hier s nicht mehr von x abhängen, wenn man es im weiteren Zusammenhang betrachtet.
Schlussendlich erhält man für die Funktion:
[mm] \bruch{9}{2}*z^{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}*y^{2} [/mm] + 4y + [mm] \bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x [/mm] + K
K ist eine Konstante nur aus Zahlen.
Gruss
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Hallo,
so ich habe jetzt mal die b) aufgeschrieben und hoffe das sich kein fehler eingeschlichen hat:
[mm] \underline{Potenzial bestimmen}:
[/mm]
I) [mm] 7x+6y+8z+3=\phi_{x}(x,y,z) [/mm] --> [mm] \phi(x,y,z)=\integral{(7x+6y+8z+3)dx}=\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+c(y,z)
[/mm]
II) [mm] 6x+5y+4=\phi_{y}(x,y,z)=6x+c'(y,z) [/mm] --> [mm] c'(y,z)=\integral{(5y+4)dy}=\bruch{5}{2}y^{2}+4y+d(z)
[/mm]
III) [mm] 8x+9z=\phi_{z}(x,y,z)=d'(z) [/mm] --> [mm] d'(z)=\integral{(8x+9z)}dz=8xz+\bruch{9}{2}z^{2}+k
[/mm]
[mm] \phi(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^{2}+6yx+8zx+3x+\bruch{5}{2}y^{2}+4y+\bruch{9}{2}z^{2}+k
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Aufgabe | c) Geben Sie F(x,y,z) in Matrix-Vektor-Notation an, sprich:
F(X) = AX + B.
Welche Eigenschaft muss für die Matrix A allgemein gelten, damit F über ein Potenzial verfügt?
Geben Sie auch [mm] \phi(X) [/mm] in Matrix-Vektor-Notation an. |
Abend,
zur Aufgabe: Wie bestimme ich A und B?
Danke im Vorraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 29.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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