Lineare abhänigigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Spitfire |
hallo!
sorry, weiß nicht wie ich die vektrosymbole benutzen kann. alle buchstaben im folgenden sind vektoren.
ich muss für heute abend noch ne aufgabe lösen.
die aufgabe lautet:
a,b,c sei linear unabhänig
x = 2a + 2b -c
y = 2a - b
z = 3a + 3/2b
gefragt ist, ob x,y,z linear abhänig oder unabhänig ist
danke für eure hilfe
mfg
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a,b,c sei linear unabhänig
>
> x = 2a + 2b -c
> y = 2a - b
> z = 3a + 3/2b
>
> gefragt ist, ob x,y,z linear abhänig oder unabhänig ist
Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ zeigst du, indem du nachweist, dass folgende Linearkombination
[mm] $r*\vec x+s*\vec y+t*\vec z=\vec [/mm] 0$
nur erfüllt ist, wenn $r=s=t=0$ gilt.
Setzen wir in diese Gleichung doch mal die Darstellungen der drei Vektoren ein:
[mm] $r*(2\vec a+2\vec b-\vec c)+s*(2\vec a-\vec b)+t*(3\vec a+\bruch{3}{2}\vec b)=\vec [/mm] 0$
Nun können wir die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren [mm] $\vec a,\vec b,\vec [/mm] c$ ausnutzen, d.h., wir formen diese Gleichung so um, dass wir --wie oben-- eine linear kombinierte Darstellung des Nullvektor erhalten:
[mm] $\gdw\ 2r*\vec a+2r*\vec b-r*\vec c+2s*\vec a-s*\vec b+3t*\vec a+\bruch{3}{2}t*\vec b=\vec [/mm] 0$
[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+2r*\vec b-r*\vec c-s*\vec b+\bruch{3}{2}t*\vec b=\vec [/mm] 0$
[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+(2r-s+\bruch{3}{2}t)*\vec b-r*\vec c=\vec [/mm] 0$
[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+\left(2r-s+\bruch{3}{2}t\right)*\vec b-r*\vec c=\vec [/mm] 0$
Da die drei Vektoren [mm] $\vec a,\vec b,\vec [/mm] c$ nun linear unabhängig sind, kann die obige Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Koeffizienten der Vektoren alle Null sind; dies wiederum in Gleichungen ausgedrückt:
[mm]\begin{array}{r|lcl}
1&2r+2s+3t&=&0\\
&2r-s+\bruch{3}{2}t&=&0\\
&-r&=&0\end{array}[/mm]
Aus der letzten Gleichung folgt bereits $r=0$, eingesetzt in die ersten beiden Gleichungen:
[mm]\begin{array}{r|lcl}
2&2s+3t&=&0\\
&\red{-}s+\bruch{3}{2}t&=&0\\
&r&=&0\end{array}[/mm]
Die zweite Gleichung mit 2 multipliziert:
[mm]\begin{array}{r|lcl}
3&2s+3t&=&0\\
&\red{-}2s+3t&=&0\\
&r&=&0\end{array}[/mm]
Die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert:
Korrektur: Die erste Gleichung zu der zweiten addiert:
[mm]\begin{array}{r|lcl}
4&2s+3t&=&0\\
&\red{6t}&=&0\\
&r&=&0\end{array}[/mm]
Nun sieht man sehr schön, dass nicht zwingend folgt, dass man $r=s=t=0$ wählen muß, sondern dass auch $s=3,t=-2,r=0$ eine Lösung ist.
Gehen wir mal zu unserem anfänglichen Ansatz zurück und setzen dort unsere Beispielwerte für r,s,t ein:
Mit anderen Worten: Der Nullvektor läßt sich mit einer nicht-trivialen Linearkombination der drei Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ darstellen, so dass diese nicht linear unabhängig sein können.
Korrektur: Nun folgt aus der zweiten Gleichung $t=0$ und damit aus der ersten Gleichung $s=0$. Die Darstellung des Nullvektors ist also nur auf triviale Art und Weise möglich, woraus die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ folgt.
Wenn du Fragen hast, stelle sie einfach  !
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Spitfire |
ich glaube du hast beim lösen des gleichungssystems zwishen schritt 1 und 2 ein minus vergessen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Spitfire,
> ich glaube du hast beim lösen des gleichungssystems zwishen
> schritt 1 und 2 ein minus vergessen
Danke, habe ich korrigiert.
Ich nehme an, du hast das Vorgehen trotz meines Fehlers bereits verstanden.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
