Lineare unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Vorab möchte ich mal die Arbeit hier anerkennen. Ein Freund hat mir zu dieser Seite hier geraten und ich find das echt toll was hier gemacht wird.
Trotzalledem hab auch ich so meine Probleme mit der Mathematik.
Wir haben in der letzten Vorlesung der Linearen Algebra die lineare Unabhängigkeit von Vektoren besprochen. Ein Lösungsweg wäre unteranderem, und wahrscheinlich auch der einfachste, ein LGS nach dem Gaußschen Elimintaionsverfahren zu lösen.
Ich habe jetzt mal folgende Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\0 \\-1 },\vektor{0 \\1 \\-1 },\vektor{1 \\-1 \\1 }
[/mm]
Diese müssen ja für die lineare Unabhängigkeit alle Null ergeben.
Für die lineare Abhängigkeit müssen sie ebenfalls alle Null ergeben.
Nach dem Verfahren zählt man die Zeilen, die ungleich dem Nullvektor sind.(D.h. mindestens ein Koeffizient in der Zeile muß ungleich Null sein).
Ist diese Anzahl gleich der Anzahl der Vektoren, so sind diese Vektoren linear unabhängig. Ist sie kleiner, so sind die Vektoren linear abhängig.
Hier nun zum LGS:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ -1 & -1 & 1 = 0}
[/mm]
Da ich Zeilen vertauschen darf, vertausch ich mal die erste mit der zweiten
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0}
[/mm]
Nun addiere ich die 3. Zeile mit der 1.:
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ 0 & -1 & 2 = 0}
[/mm]
Ich würde jetzt schon sagen linear abhängig, da ich die -1 in der 3. Zeile 2. Spalte wegkriegen muss. Dies geht nur wenn ich sie mit der 1 addiere. Allerdings kriege ich dann wieder einen anderen Wert für die Null in der ersten Spalte. Und das geht immer so weiter.
Trotzdem addiere ich mal die 1. Zeile mit der 2., und vertausche die 1. mit der letzten:
[mm] \vmat{ 0 & -1 & 2 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ -1 & 0 & 0 = 0}.
[/mm]
Jetzt kann ich sagen, dass sie definitiv linear abhängig ist. Zwar muss ich in der 3. Zeile 1. Spalte auch eine Null zu stehen haben, aber denn Schritt wollte ich mir jetzt sparen. Da ich nun schon erkenne, dass sie linear abhägig ist. Ist das so richtig???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dodov8423,
> Hallo.
> Vorab möchte ich mal die Arbeit hier anerkennen. Ein
> Freund hat mir zu dieser Seite hier geraten und ich find
> das echt toll was hier gemacht wird.
> Trotzalledem hab auch ich so meine Probleme mit der
> Mathematik.
> Wir haben in der letzten Vorlesung der Linearen Algebra
> die lineare Unabhängigkeit von Vektoren besprochen. Ein
> Lösungsweg wäre unteranderem, und wahrscheinlich auch der
> einfachste, ein LGS nach dem Gaußschen
> Elimintaionsverfahren zu lösen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau!!
> Ich habe jetzt mal folgende Vektoren:
> [mm]\vektor{1 \\0 \\-1 },\vektor{0 \\1 \\-1 },\vektor{1 \\-1 \\1 }[/mm]
>
> Diese müssen ja für die lineare Unabhängigkeit alle Null
> ergeben.
Hmm, du meinst, sie dürfen die Null nur als triviale Linearkombination darstellen
> Für die lineare Abhängigkeit müssen sie ebenfalls alle
> Null ergeben.
> Nach dem Verfahren zählt man die Zeilen, die ungleich dem
> Nullvektor sind. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") (D.h. mindestens ein Koeffizient in der
> Zeile muß ungleich Null sein).
> Ist diese Anzahl gleich der Anzahl der Vektoren, so sind
> diese Vektoren linear unabhängig. Ist sie kleiner, so sind
> die Vektoren linear abhängig.
Hmm, du setzt die LK an: [mm] $\lambda \cdot{}\vektor{1 \\0 \\-1 }+\mu\cdot{}\vektor{0 \\1 \\-1 }+\nu\cdot{}\vektor{1 \\-1 \\1 }=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Für lineare Unabhängigkeit müssen [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$ [/mm] sein, für lineare Abhängigkeit minsestens eines der [mm] $\lambda ,\mu ,\nu\neq [/mm] 0$
> Hier nun zum LGS:
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ -1 & -1 & 1 = 0}[/mm]
>
> Da ich Zeilen vertauschen darf, vertausch ich mal die erste
> mit der zweiten
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0}[/mm]
>
> Nun addiere ich die 3. Zeile mit der 1.:
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ 0 & -1 & 2 = 0}[/mm]
bis hierher ok
> Ich würde jetzt schon sagen linear abhängig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , da ich die -1
> in der 3. Zeile 2. Spalte wegkriegen muss ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Dies geht nur
> wenn ich sie mit der 1 addiere
Addiere doch die 2.Zeile zur 3.Zeile. Dann bist du doch schon am Ziel:
[mm] $\vmat{ -1 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ 0 & 0 & 1 = 0}$
[/mm]
Das ist nun in Stufenform, wie es sein soll
Damit die Gleichung in Zeile 3 [mm] ($0\cdot{}\lambda+0\cdot{}\mu+1\cdot{}\mu=0$) [/mm] erfüllt ist, muss [mm] $\nu=0$ [/mm] sein
Das kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen und erhältst ebenso [mm] $\mu=\lambda=0$
[/mm]
. Allerdings kriege ich dann
> wieder einen anderen Wert für die Null in der ersten
> Spalte. Und das geht immer so weiter.
> Trotzdem addiere ich mal die 1. Zeile mit der 2., und
> vertausche die 1. mit der letzten:
> [mm]\vmat{ 0 & -1 & 2 = 0 \\ 0 & 1 & -1 = 0 \\ -1 & 0 & 0 = 0}.[/mm]
Das ist auch richtig, aber viel zu umständlich gerechnet, Ziel ist es doch, das GS in Zeilenstufenform zu bringen. Das hast du doch oben im einleitenden Text richtigerweise erwähnt...
Hier kannst du die 2.Zeile zur 1.Zeile addieren und danach wieder 1.Zeile und 3.Zeile vertauschen, dann bekommst du - wie oben - ein GS in ZSF, das nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$ [/mm] hat
> Jetzt kann ich sagen, dass sie definitiv linear abhängig
> ist.
Gib mal [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] an, die nicht alle =0 sind und das GS erfüllen...
Zwar muss ich in der 3. Zeile 1. Spalte auch eine Null
> zu stehen haben, aber denn Schritt wollte ich mir jetzt
> sparen. Da ich nun schon erkenne, dass sie linear abhägig
> ist. Ist das so richtig???
Nee, schau dir nochmal ganz genau die Definition von Linearer (UN-)Abhängigkeit an, da ist etwas durcheinander...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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Gut alles klar dankeschön zunächst für die Antwort.
Hier eine andere Aufgabe.
Meine Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Mein LGS:
[mm] \vmat{ 0 & 1 & 1 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0 \\ -1 & -1 & 0 = 0}
[/mm]
1. und 3. Zeile vertauscht:
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0}
[/mm]
2. Zeile addiert mit 1.:
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 0 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0}
[/mm]
3. Zeile addiert mit mit 2.:
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 0 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 0 & 2 = 0}
[/mm]
Diese würde ich nun sagen linear abhängig.
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Hallo,
> Gut alles klar dankeschön zunächst für die Antwort.
> Hier eine andere Aufgabe.
> Meine Vektoren:
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Mein LGS:
> [mm]\vmat{ 0 & 1 & 1 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0 \\ -1 & -1 & 0 = 0}[/mm]
Wie kommst du auf das GS??
Ich habe doch oben geschrieben, dass du die LK [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\mu\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\nu\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}=\vektor{0\\ 0\\ 0}$ [/mm] ansetzen musst
Das ergibt das GS:
$(I) [mm] 0\cdot{}\lambda+1\cdot{}\mu-1\cdot{}\nu=0$
[/mm]
$(II) [mm] 1\cdot{}\lambda+0\cdot{}\mu-1\cdot{}\nu=0$ [/mm]
$(III) [mm] 1\cdot{}\lambda+1\cdot{}\mu+0\cdot{}\nu=0$
[/mm]
Oder in Matrixschreibweise:
[mm] $\vmat{ 0 & 1 & -1 &\mid& 0 \\ 1 & 0 & -1& \mid& 0 \\ 1 & 1 & 0 &\mid &0}$
[/mm]
> 1. und 3. Zeile vertauscht:
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 1 & 0 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0}[/mm]
>
> 2. Zeile addiert mit 1.:
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 0 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 1 & 1 = 0}[/mm]
>
> 3. Zeile addiert mit mit 2.:
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 0 = 0 \\ 0 & -1 & 1 = 0 \\ 0 & 0 & 2 = 0}[/mm]
>
> Diese würde ich nun sagen linear abhängig. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Welche Gleichung verbirgt sich denn hinter der 3. Zeile??
Doch [mm] $2\cdot{}\nu=0$
[/mm]
Daraus folgt doch [mm] $\nu=0$
[/mm]
Das in Zeile 2 einsetzen liefert [mm] $\mu=0$
[/mm]
Das in Zeile 1 eingesetzt gibt [mm] $\lambda=0$
[/mm]
Also [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$
[/mm]
Also sind die Vektoren von oben linear unabhängig !!!
Schau dir nochmal scharf die Definitionen an!!
LG
schachuzipus
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Ja scheiße. Ich hatte mich mit den Vorzeichen verhaspelt. Irgendwie falsch abgelesen. Hab mir das jetzt alles durchgelesen und hoffentlich richtig verstanden. Gauß Verfahren heißt Stufenform. Sollte ich jetzt in der letzten Zeile z.B. überall eine Null zu stehen haben, dann wäre Sie linear abhängig. Oder auch wenn wir in der letzten Zeile z.B. zwei LK haben. dann könnte es sein das es noch andere Lösungen gibt.
wie z.B. die 3 Vektoren
[mm] \vektor{ 1 \\ -1 \\ 1},\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
In Matrixform:
[mm] \vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 1& 0 &-1=0 }
[/mm]
3. zeile addiert mit 2.
[mm] \vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 0& 1 &-1=0 }
[/mm]
1. Zeile multipliziert mit (-1) und addiert mit 3.
[mm] \vmat{ -1& 0& -1=0 \\ 0& 2& 1=0 \\ 0& 1 &-1=0 }
[/mm]
1. und 3. vertauscht.
[mm] \vmat{ 0& 1& -1=0 \\ 0& 2& 1=0 \\ -1& 0&-1=0 }
[/mm]
Jetzt habe ich in der 3. Zeile das Problem mit der (-1). Ich kann die GS nicht in die Gauß Form bringen auch wenn ich noch hin und her tauschen, addieren und multiplizieren würde. Jetzt würde ich sagen, dass ich außer der Null auch andere Zahlen für die Skalare einsetzen könnte um auf Null zu kommen.
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Hallo,
> Ja scheiße. Ich hatte mich mit den Vorzeichen verhaspelt.
> Irgendwie falsch abgelesen. Hab mir das jetzt alles
> durchgelesen und hoffentlich richtig verstanden. Gauß
> Verfahren heißt Stufenform. Sollte ich jetzt in der letzten
> Zeile z.B. überall eine Null zu stehen haben, dann wäre Sie
> linear abhängig. Oder auch wenn wir in der letzten Zeile
> z.B. zwei LK haben.
Was meinst du damit?
Du hast doch ein homogenes LGS zu lösen, das kann entweder eine eindeutige Lösung [mm] ($\lambda=\mu=\nu=0$) [/mm] haben - dann sind die Vektoren linear unabhängig - ODER unendlich viele Lösungen - dann sind die Vektoren linear abhängig.
>dann könnte es sein das es noch andere
> Lösungen gibt.
> wie z.B. die 3 Vektoren
> [mm]\vektor{ 1 \\ -1 \\ 1},\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> In Matrixform:
> [mm] \vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 1& 0 &-1=0 } [/mm]
> 3. zeile
> addiert mit 2.
> [mm] \vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 0& 1 &-1=0 } [/mm]
Das ergibt [mm] $\vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 0& 1 &\red{0}=0 }$
[/mm]
> 1. Zeile
> multipliziert mit (-1) und addiert mit 3.
> [mm]\vmat{ -1& 0& -1=0 \\ 0& 2& 1=0 \\ 0& 1 &-1=0 }[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> 1. und 3.
> vertauscht.
> [mm]\vmat{ 0& 1& -1=0 \\ 0& 2& 1=0 \\ -1& 0&-1=0 }[/mm]
Was machst du denn da?? Zeil ist doch, das in ZSF zu bringen...
> Jetzt habe
> ich in der 3. Zeile das Problem mit der (-1). Ich kann die
> GS nicht in die Gauß Form bringen auch wenn ich noch hin
> und her tauschen, addieren und multiplizieren würde. Jetzt
> würde ich sagen, dass ich außer der Null auch andere Zahlen
> für die Skalare einsetzen könnte um auf Null zu kommen.
Ich verstehe nicht, mit welchem Zeil du deine Umformungen machst. Du musst doch ne ZSF hinbekommen !!
Du hast nach der ersten Umformung dies dastehen:
[mm] $\vmat{ 1& 1& 0=0 \\ -1& 1& 1=0 \\ 0& 1 &0=0 }$
[/mm]
Hier kannst du doch systematisch vorgehen. Eliminiere die -1 im ersten Eintrag der 2.Zeile.
Dazu addiere die erste Zeile zur 2.Zeile. Dann hast du:
[mm] $\vmat{ 1& 1& 0=0 \\ \red{0}& 2& 1=0 \\ 0& 1 &0=0 }$
[/mm]
So jetz stört nur noch der Eintrag 1 in der 3.Zeile. Addiere mal die 2.Zeile zum -2fachen der 3.Zeile. Dann verschwindet auch der Eintrag und das LGS ist in ZSF.
Welche Lösungen für [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] ergeben sich dann?
Und sind die Vektoren dann linear abh. oder unabh.?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Ja auch wieder unabhängig. Ich lass das für heute mal auf mich wirken und melde mich dann morgen wieder. Danke für alles
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Okay. Also betreffend meinen Problemen von gestern habe ich mir die Regeln noch mal angeguckt.
Ich habe jetzt folgende Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\1 \\-1 },\vektor{1 \\-1 \\1 },\vektor{1 \\0 \\0 }
[/mm]
wenn ich die 3. mit der 2. addiere. Erhalte ich in Matrizenform:
[mm] \vmat{ 0 & 1 & 1=0 \\ 1 & -1 & 0=0 \\ 0 & 0 & 0=0 }
[/mm]
Ich würde sagen, die ist jetzt echt mal linear abhängig.
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Hallo nochmal,
> Okay. Also betreffend meinen Problemen von gestern habe ich
> mir die Regeln noch mal angeguckt.
> Ich habe jetzt folgende Vektoren:
> [mm]\vektor{0 \\1 \\-1 },\vektor{1 \\-1 \\1 },\vektor{1 \\0 \\0 }[/mm]
>
> wenn ich die 3. mit der 2. addiere. Erhalte ich in
> Matrizenform:
> [mm]\vmat{ 0 & 1 & 1=0 \\ 1 & -1 & 0=0 \\ 0 & 0 & 0=0 }[/mm]
> Ich
> würde sagen, die ist jetzt echt mal linear abhängig.
Das stimmt !!
Gib doch mal die allgemeine Lösung dieses LGS an und noch eine konkrete
Lösung, also eine konkrete LK der 3 Vektoren, die Null ergibt und wo nicht alle Koeffizienten =0 sind.
Gruß
schachuzipus
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um es kurz zu machen ohne jetzt die Vektoren mit aufzuschreiben, könnte ich z.B. den ersten Vektor mit 1 multiplizieren, sowie den zweiten auch. Den dritten könnte ich mit (-1) multiplizieren. Oder ich multipliziere den ersten Vektor mit 2, sowie den zweiten auch. Den dritten könnte ich mit (-2) multiplizieren. Ich würde sagen, dass gilt dann für alle Reellen Zahlen.
Den Vektor:
[mm] \vektor{1\\ 0\\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{1\\ 1\\ 0} [/mm] würde ich auch sagen, dass er linear abhängig ist.
ich habe jetzt noch eine andere Frage. Es sind folgende Vektoren gegeben:
u= [mm] \vektor{1 \\ -2}, [/mm] v= [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] w= [mm] \vektor{-2 \\ 4}, [/mm] x= [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Ich soll nun prüfen, ob z.B. die Menge {u,v} linear unabhängig ist. Wie gehe ich an soetwas ran???
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Hallo Domenick,
> um es kurz zu machen ohne jetzt die Vektoren mit
> aufzuschreiben, könnte ich z.B. den ersten Vektor mit 1
> multiplizieren, sowie den zweiten auch. Den dritten könnte
> ich mit (-1) multiplizieren. Oder ich multipliziere den
> ersten Vektor mit 2, sowie den zweiten auch. Den dritten
> könnte ich mit (-2) multiplizieren. Ich würde sagen, dass
> gilt dann für alle Reellen Zahlen.
jo, alle Tripel [mm] $(\lambda,\mu,\nu)$ [/mm] der Form $(t,t,-t)$ mit [mm] $t\in\IR$ [/mm] tun's
Das ist nämlich die allg. Lösung des obigen LGS
>
> Den Vektor:
> [mm]\vektor{1\\ 0\\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{1\\ 1\\ 0}[/mm]
> würde ich auch sagen, dass er linear abhängig ist.
klar durch "Hinsehen" 
>
> ich habe jetzt noch eine andere Frage. Es sind folgende
> Vektoren gegeben:
> u= [mm]\vektor{1 \\ -2},[/mm] v= [mm]\vektor{1 \\ 0},[/mm] w= [mm]\vektor{-2 \\ 4},[/mm]
> x= [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> Ich soll nun prüfen, ob z.B. die Menge
> {u,v} linear unabhängig ist. Wie gehe ich an soetwas
> ran???
Wie üblich: setze die LK an: [mm] $\lambda\cdot{}u+\mu\cdot{}v=0$
[/mm]
Und löse das LGS
Oder vllt. schneller durch Hinsehen, hier sind's ja "nur" Vektoren [mm] $\in\IR^2$
[/mm]
Zwei Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind
LG
schachuzipus
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Kann ich das LGS dann auch nach dem Gaußverfahren lösen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Natürlich immer, nur bei 2 Unbekannten ist das ja fast trivial.
Gruss leduart
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Okay also ich habe jetzt die beiden Vektoren [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] Wenn ich den jetzt noch in Gaußform bringe, dann habe, würde ich sagen, dass er linear unabhängig ist.
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Ja ist natürlich richtig beide Vektoren sind linear unabhängig. Wie ist das eigentlich mit dem Gauß würde es auch reichen wenn ich die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 0 }
[/mm]
erhalte, oder muss die Matrix (nach dem Verfahren) so aussehen???
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Und was hat das mit der Menge dieser beiden Vektoren auf sich, bei welchen ich klären sol, ob sie linear unabhängig sind???
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Hallo,
> Ja ist natürlich richtig beide Vektoren sind linear
> unabhängig. Wie ist das eigentlich mit dem Gauß würde es
> auch reichen wenn ich die Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 0}[/mm]
Dieses Ding ist nicht in ZSF, du kannst aber anhand der 2ten Zeile schon die Lösung [mm] $\lambda=0$ [/mm] ablesen und das in die 1.Zeile einsetzen und [mm] $\mu=0$ [/mm] bekommen
> erhalte, oder muss die Matrix
> (nach dem Verfahren) so aussehen???
> [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 }[/mm]
Jo, nach dem Gaußschen Elimin.verf. ja, denn das Biest ist in ZSF
allg. ist sowas in ZSF: [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & c }
[/mm]
> Und was hat das mit der Menge
> dieser beiden Vektoren auf sich, bei welchen ich klären
> sol, ob sie linear unabhängig sind???
Entweder du schreibst die Vektoren $u,v$ so hin und sagst: u,v sind linear unabhängig, oder du schreibst [mm] $\{u,v\}$ [/mm] und sagst, die Familie/Menge von Vektoren [mm] $\{u,v\}$ [/mm] ist linear unabhängig
Gruß
schachuzipus
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Gut wunderbar. Dankeschön. Dann habe ich eigentlich nur noch zwei kleinere Probleme.
Die beiden Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
und die drei Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\ -2}, \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
zum ersten:
mich verwirrt, dass nur in der ersten Spalte Zahlen stehen!!! Was muss ich hier machen???
und zum zweiten:
Kann ich sowas auch in ZSF bringen???
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Hallo,
> Gut wunderbar. Dankeschön. Dann habe ich eigentlich nur
> noch zwei kleinere Probleme.
> Die beiden Vektoren:
> [mm]\vektor{1 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0}[/mm]
> und die drei Vektoren:
> [mm]\vektor{1 \\ -2}, \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0}[/mm]
> zum
> ersten:
> mich verwirrt, dass nur in der ersten Spalte Zahlen
> stehen!!!
Du meinst im zugehörigen LGS?!
Das kannst du ja auch in ZSF bringen, so dass in der zweiten Zeile ne Nullzeile entsteht.
Wenn du eine Menge von Vektoren auf lineare (Un-)Abhängigkeit überprüfen sollst und der Nullvektor darunter ist, so sind die Vektoren automatisch linear abhängig.
Sagen wir, du hast diese Menge [mm] $\{u,v,w,\vektor{0\\0\\0\\0}\}$ [/mm] wobei [mm] $0\neq u,v,w\in\IR^4$ [/mm] beliebig sein sollen
So kannst du doch den Nullvektor stets so linear aus [mm] $u,v,w,\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] kobinieren:
[mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}=0\cdot{}u+0\cdot{}v+0\cdot{}w+k\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] mit nem beliebigen [mm] $k\neq [/mm] 0$
Was muss ich hier machen???
> und zum zweiten:
> Kann ich sowas auch in ZSF bringen???
jo, du hast das LGS [mm] $\pmat{1&0&|&0\\-2&0&|&0}$
[/mm]
Wenn du hier das 2fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addierst, bekommst du
[mm] $\pmat{1&0&|&0\\0&0&|&0}$ [/mm] Das ist in ZSF
Aber wie schon erwähnt, kannst du das auch durch Hinsehen erkennen, die Rechnungen sind hier eher nur der Formalität wegen nötig
Zur anderen Frage. Im [mm] \IR^2 [/mm] ist maximal eine Menge von 2 Vektoren linear unabhängig, in deiner Menge sind 3, also sind die 3 Vektoren auf jeden Fall linear abhängig.
Außerdem ist der Nullvektor dabei, also weißt du schon direkt, dass sie lin. abh. sind
Allgemein gilt, dass im [mm] \IR^n [/mm] m Vektoren immer linear abhängig sind, falls m>n ist
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 So 04.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Super das wars schon. Dankeschön für die Informationen. Haben mir sher weiter geholfen.
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