Linearer Operator beschränkt? < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Für $ a,b [mm] \in \IR; [/mm] a < b $ sei der lineare Raum der stetigen Funktionen $ f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] $ mit
$ \ C[a,b] $ bezeichnet.
Untersuchen Sie, ob der lineare Operator
$ [mm] \delta [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \delta(f) [/mm] = f(0) $
beschränkt ist, wenn $ \ C[0,1] $ ausgestattet ist mit:
i) der Norm $ [mm] \parallel*\parallel_{\infty} [/mm] $
ii) der Norm $ [mm] \parallel*\parallel_{1} [/mm] $
(wie in Aufgabenteil a) de finiert).
Berechnen Sie gegebenenfalls die Operatornorm von $ [mm] \delta [/mm] $. (Hierbei ist $ [mm] \IR [/mm] $ natürlich mit
der Betragsnorm $ [mm] |\cdot{}| [/mm] $ versehen.)
Definition aus Aufgabenteil a) :
$ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_{\infty} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty} [/mm] = [mm] max_{0 \le x \le 1} [/mm] |f(x)| $
$ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_{1} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] $ |
Habe leider erhebliche Probleme mit dieser Aufgabe.
Zum Beispiel habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich hier die Operatornorm von [mm] \delta [/mm] berechne.
Im Internet bzw. in meinen Unterlagen finde ich auch keine hilfreichen Informationen.
Was ich weiss:
Ein linearer Operator $ A: X [mm] \to [/mm] Y $ ist genau dann beschränkt, wenn
$ [mm] \parallel*\parallel [/mm] := [mm] sup_{\parallel x \parallel_{X}=1} \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
bzw.: $ [mm] \exists [/mm] c > 0 : [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} \le [/mm] c [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{X} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X $
klar: Das A ist hier mein [mm] \delta [/mm] .
Ist $ [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} [/mm] $ dann mein $ [mm] \delta(f(x)) [/mm] $ mit der Betragsnorm auf $ [mm] \IR [/mm] $ ... also laut Aufgabe $ = |f(0)| $ ?!
Dann wäre zu zeigen oder zu widerlegen, dass:
(i) $ [mm] \exists [/mm] c : |f(0)| [mm] \le c*max_{0 \le x \le 1} [/mm] (|f(x)|) $
(ii) $ [mm] \exists [/mm] c : |f(0)| [mm] \le c*\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] $
Bin ich bis hierhin irgendwie in die richtige Richtung gegangen, oder ist das kompletter Unsinn?
Wäre für jede hilfreiche Antwort sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 06.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]a,b \in \IR; a < b[/mm] sei der lineare Raum der stetigen
> Funktionen [mm]f : [a,b] \to \IR[/mm] mit
> [mm]\ C[a,b][/mm] bezeichnet.
>
> Untersuchen Sie, ob der lineare Operator
> [mm]\delta : C[0,1] \to \IR, \delta(f) = f(0)[/mm]
> beschränkt
> ist, wenn [mm]\ C[0,1][/mm] ausgestattet ist mit:
>
> i) der Norm [mm]\parallel*\parallel_{\infty}[/mm]
>
> ii) der Norm [mm]\parallel*\parallel_{1}[/mm]
>
> (wie in Aufgabenteil a) de finiert).
>
> Berechnen Sie gegebenenfalls die Operatornorm von [mm]\delta [/mm].
> (Hierbei ist [mm]\IR[/mm] natürlich mit
> der Betragsnorm [mm]|\cdot{}| [/mm] versehen.)
>
> Definition aus Aufgabenteil a) :
>
> [mm]\parallel\cdot{}\parallel_{\infty} : C[0,1] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty} = max_{0 \le x \le 1} |f(x)|[/mm]
>
> [mm]\parallel\cdot{}\parallel_{1} : C[0,1] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{1} = \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
>
> Habe leider erhebliche Probleme mit dieser Aufgabe.
> Zum Beispiel habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich
> hier die Operatornorm von [mm]\delta[/mm] berechne.
> Im Internet bzw. in meinen Unterlagen finde ich auch keine
> hilfreichen Informationen.
>
> Was ich weiss:
>
> Ein linearer Operator [mm]A: X \to Y[/mm] ist genau dann
> beschränkt, wenn
>
> [mm]\parallel*\parallel := sup_{\parallel x \parallel_{X}=1} \parallel Ax \parallel_{Y} < \infty[/mm]
>
> bzw.: [mm]\exists c > 0 : \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x \parallel_{X} \forall x \in X[/mm]
>
> klar: Das A ist hier mein [mm]\delta[/mm] .
>
> Ist [mm]\parallel Ax \parallel_{Y}[/mm] dann mein [mm]\delta(f(x))[/mm] mit
> der Betragsnorm auf [mm]\IR[/mm] ... also laut Aufgabe [mm]= |f(0)|[/mm] ?!
>
> Dann wäre zu zeigen oder zu widerlegen, dass:
>
> (i) [mm]\exists c : |f(0)| \le c*max_{0 \le x \le 1} (|f(x)|)[/mm]
Das stimmt doch mit c=1 !!!!
>
> (ii) [mm]\exists c : |f(0)| \le c*\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
Falls [mm] \delta [/mm] unter der Norm $ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_{1} [/mm] $ beschränkt wäre, so müßte ein c [mm] \ge [/mm] 0 ex. mit:
|f(0)| [mm] \le c*\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] für jedes f [mm] \in [/mm] C[0,1]
Jetzt betrachte mal für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] f_n(x) [/mm] = -nx+1 , falls 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/n und [mm] f_n(x)= [/mm] 0 , falls 1/n<x [mm] \le [/mm] 1
FRED
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> Bin ich bis hierhin irgendwie in die richtige Richtung
> gegangen, oder ist das kompletter Unsinn?
> Wäre für jede hilfreiche Antwort sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Sa 06.11.2010 | | Autor: | chesn |
Vielen Dank Fred!
Hatte nichtmal erwartet, dass es soweit richtig ist, daher habe ich mir ab diesem Punkt auch erstmal
keine Gedanken mehr gemacht. So sollte ich es jetzt aber hinbekommen, dankeschön! :]
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