Linearer Teilraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 22.10.2006 | | Autor: | Trottel |
| Aufgabe | Sei L Unterraum von R² ein linearer Teilraum und L' := {(-y x) | (x y) L} [wobei eben -y über x steht bzw. x über y.. also als tupel angegeben]
Zeigen Sie:
a) L' is ein linearer Teilraum des R²
b) Ist L ungleich {0} und L ungleich R², so ist L u L' KEIN linearer Teilraum des R² |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gleich vorab: Mir tut es leid, dass ich selber absolut kein Lösungsvorschlag geben kann. Mir geht es nun auch nich darum dass ihr mir diese Aufgabe löst, sondern ich will das ganze einfach verstehen! :( Das kam in der 2. Vorlesung dran und mein Prof hat ein gutes Tempo drauf, plus mit seinem Skript kann ich nix anfangen. Ich versteh echt nicht wie ich das zeigen soll.
Unsere Def. war einfach nur
Eine Teilmenge U von R n heißt lin Teilraum von R n, wenn gilt
(1) x,y U impliziert x+y U
(2) x u impliziert c *x U für alle c R
(3) U ungleich {}
Ich versteh's wirklich nicht.. vielleicht kann mir da jmd helfen wie ich das zeigen soll.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Das kam in der 2. Vorlesung
> dran und mein Prof hat ein gutes Tempo drauf, plus mit
> seinem Skript kann ich nix anfangen. Ich versteh echt nicht
> wie ich das zeigen soll.
Jeder Matheprof. hat ein gutes Tempo drauf, sehr viele Studenten können mit den Skripten nichts anfangen, daß man manchmal nicht versteht, was man zeigen soll, ist kein Indiz dafür, daß man ein "Trottel" ist.
Es ist normal.
Nun zur Materie:
Den [mm] R^2 [/mm] kannst Du Dir ja als Ebene vorstellen. Alle Punkte dieser Ebene bilden einen Vektorraum
Die Untervektorräume (=lineare Teilräume) dieses Vektorraumes sind alle Geraden durch den Nullpunkt und natürlich (!?) R² selber und der kleine Raum, der nur den Nullvektor enthalt.
Nun gucken wir uns mal einen bestimmten Unterraum S an, der soll die Gerade in Richtung des Vektors [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] sein.
Was ist nun S':= [mm] \{\vektor{-y \\ x} | (x, y) S\} [/mm] ?
Das ist die Menge aller Vektoren, die Du aus S durchs "Umdrehen" der Komponenten erhältst.
Mal es Dir auf, es ist eine Gerade, die senkrecht zu S ist. Natürlich ist die auch ein Untervektorraum.
Das war, anschaulich gesprochen, der Inhalt von Aufgabe a).
Was ist S [mm] \cup [/mm] S'?
Na, die Punkte beider Geraden zusammen, also dieses "Kreuz".
Ist das ein Vektorraum? Das Vielfache eines jeden Vektors liegt ja drin,
Doch nun kommt der Knackpunkt: [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 3} [/mm] liegt auf keiner der beiden Geraden, also nicht in S [mm] \cup [/mm] S'. Also ist S [mm] \cup [/mm] S' kein (Unter-)Vektorraum, denn diese sind abgeschlossen bzgl. der Addition und Multiplikation mit Skalaren. Das war (b).
Mach' Dir diese Sachverhalte zunächst klar. Es ist dann leichter zu verstehen, was man bei der Aufgabe tut.
> Sei L Unterraum von R² ein linearer Teilraum und L' := {(-y
> x) | (x y) L} [wobei eben -y über x steht bzw. x über
> y.. also als tupel angegeben]
>
> Zeigen Sie:
> a) L' is ein linearer Teilraum des R²
> b) Ist L ungleich {0} und L ungleich R², so ist L u L'
> KEIN linearer Teilraum des R²
>
> Unsere Def. war einfach nur
> Eine Teilmenge U von [mm] R_n [/mm] heißt lin Teilraum von [mm] R_n, [/mm] wenn
> gilt
> (1) x,y U impliziert x+y U
> (2) x u impliziert c *x U für alle c R
> (3) U ungleich {}
(a)
Du sollst nun zeigen, daß unter der Voraussetzung, daß L ein linearer Teilraum ist, auch L' ein linearer Teilraum ist, daß also für L' die Punkte (1) ,(2), (3) gelten.
zu (1) Das ist die Abgeschlossenheit bzgl. +.
Sie sagt aus, daß mit je zwei Elementen aus L' auch ihre Summe in L' liegt.
Nun nehmen wir uns zwei beliebige Elemente aus L' her, etwa (a,b) und (c,d).
Seien also (a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] L'.
Zu prüfen ist, ob (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) [mm] \in [/mm] L' ist.
Wann ist (a+c, b+d) [mm] \in [/mm] L' ? Nach Definition genau dann, wenn (b+d, -(a+c)) in L liegt.
Und? Ist das der Fall?
(a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] L' ==> (b,-a), (d,-c) [mm] \in [/mm] L, denn so ist L' "gemacht".
Es ist ((b+d), -(a+c)) = (b,-a)+(d,-c) [mm] \in [/mm] L, denn L ist nach Voraussetzung ein linearer Unterraum, also gilt (1) für L.
Also (b+d, -(a+c)) [mm] \in [/mm] L ==> (a+c, b+d) [mm] \in [/mm] L'.
Also gilt (1) für L'
zu (2) das geht im Prinzip so ähnlich. Du nimmst Dir ein beliebiges Element aus L' und multiplizierst es mit einer beliebigen Zahl k aus [mm] \IR.
[/mm]
zu (3) L ist ein linearer Unterraum von [mm] \IR_2. [/mm]
Also ist L nichtleer, d.h. es gibt ein Element (a,b) [mm] \in [/mm] L ==> (-b,a) [mm] \in [/mm] L' ==> L' ist nichtleer.
Oder, falls Ihr wißt, daß die Null in jedem Vektorraum ist, kannst Du auch konkret mit (0,0) [mm] \in [/mm] L argumentieren.
Ich denke, Teil (b) schieben wir ohne Verlust noch auf, bis Dir (a) klar ist. Vielleicht kriegst Du es dann sogar alleine hin.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 So 22.10.2006 | | Autor: | Trottel |
So ich kau das ganze jetzt dann nochmal ordentlich durch, aber allein durchs durchlesen sind mir schon einige Dinge klar geworden!!
Also wirklich ein herzliches Dankeschön Angela!
Freut mich insbesondere, dass du dich meinem vermutlich für dich ziemlich "leichten" thema angenommen hast =) Aber ich bin durch das Skriptum keinen Meter klüger geworden.
Ach wie gut, das niemand weiß, dass ich ex-Mathe-LKler heiß xD
Danke nochmal!!!
Und wegen dem Beweis für die Multiplikationsregel meld ich mich nochmal und poste meine "Lösung", wie auch immer die dann aussehen mag.. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 22.10.2006 | | Autor: | Trottel |
Hallihallo,
so ich hab schon wieda 2 Fragen zu deiner Erklärung Angela.. tut mir leid, ich nerv :(
> Nun gucken wir uns mal einen bestimmten Unterraum S an, der
> soll die Gerade in Richtung des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> sein.
>
> Was ist nun S':= [mm]{\vektor{x \\ -y} | (x, y) S}[/mm] ?
>
> Das ist die Menge aller Vektoren, die Du aus S durchs
> "Umdrehen" der zweiten Komponente erhältst.
>
> Mal es Dir auf, es ist eine Gerade, die senkrecht zu S ist.
> Natürlich ist die auch ein Untervektorraum.
1. Frage:
Den vorletzten Satz (rot) kann ich nich ganz nachvollziehen.. Also ich soll mir doch den Vektor von S [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] und den Vektor von S' [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] aufmalen und feststellen dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind oder? Glaub das hab ich noch nicht ganz verstanden, denn beide Vektoren sind ja nicht senkrecht zueinander.. also wäre der Vektor von S' [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm] würds klappen.
2. Frage:
> Wann ist (a+c, b+d) L' ? Nach Definition genau dann, wenn (a+c, - (b+d)
> ) in L liegt.
Die Definition bezieht sich jetzt lediglich auf dein genanntes Beispiel mit S oder? Also das kann je nachdem welche Vorzeichen und Position das x und y in L' := { [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] }haben, variieren nicht wahr?
Lg Dominic
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> > Nun gucken wir uns mal einen bestimmten Unterraum S an, der
> > soll die Gerade in Richtung des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> > sein.
> >
> > Was ist nun S':= [mm]{\vektor{x \\ -y} | (x, y) S}[/mm] ?
> >
> > Das ist die Menge aller Vektoren, die Du aus S durchs
> > "Umdrehen" der zweiten Komponente erhältst.
> >
> > Mal es Dir auf, es ist eine Gerade, die senkrecht zu S
> ist.
Das ist natürlich völliger Blödsinn...
> > Natürlich ist die auch ein Untervektorraum.
Das stimmt.
>also wäre der Vektor von S' [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
> bzw. [mm]\vektor{-2 \\ 1}[/mm] würds klappen.
Haargenau, so hatte ich das auch geplant.
Ich hab' da auch im allgemeinen Teil etwas vermurkst, durch Umdrehen der Komponenten.
Ich versuche das jetzt zu editieren, mal sehen, ob es mir nach 3 Gläsern Wein noch gelingt.
>
> 2. Frage:
> > Wann ist (a+c, b+d) L' ? Nach Definition genau dann, wenn
> (a+c, - (b+d)
> > ) in L liegt.
Derselbe Murks.
Entschuldigung, ich mache mich unverzüglich ans Werk und gebe mein Bestes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Trottel |
jau, vielen dank Angela! hoff dass ich das ganze nun kapier =)
Lg Trottel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Trottel |
| Aufgabe | Sei L [mm] \subseteq [/mm] R² ein linearer Teilraum und
L' := { [mm] \vektor{-y \\ x} [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y} \in [/mm] L }
Zeigen Sie:
L' ist ein linearer Teilraum des R². |
Hmpf.. bin noch immer ein Trottel!
Angela kannst du mir vllcht nochma genau für diese Aufgabe den Beweis für die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition, die ja Teil des Beweises für den lin. Teilraum ist, zeigen?
Ich bin noch immer verwirrt, weil ich quasi nie ne komplett Lösung gesehn hab =(
Den kompletten Rest hab ich jetzt voll verstanden =) Also bin dank dir nur noch ein Halbtrottel.. DANKE
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> Sei L [mm] \subseteq [/mm] R² ein linearer Teilraum und
> L' := { [mm] \vektor{-y \\ x}| \vektor{x \\ y} \in [/mm] L }
>
> Zeigen Sie:
> L' ist ein linearer Teilraum des R².
Zu zeigen:
L' ist abgeschlossen bzgl. der Addition, d.h. hat man zwei Elemente aus L', so liegt ihre Summe in L'.
(L' ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] daher sind die Elemente von L' Zahlenpaare bzw. Vektoren. Ich nehme zwei beliebige Elemente aus L':)
Seien [mm] \vektor{a \\ b},\vektor{c \\ d} \in [/mm] L'.
Zu zeigen: [mm] \vektor{a \\ b}+\vektor{c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c \\ b+d} \in [/mm] L'.
Ein Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ist Element von L', wenn [mm] \vektor{y \\ -x} \in [/mm] L. (Nach Def. von L')
Also sind [mm] \vektor{b \\ -a},\vektor{d \\ -c} \in [/mm] L.
Nach Voraussetzung ist L ein linearer Unterraum von [mm] \IR^2.
[/mm]
Daher ist L abgeschlossen bzgl. +, und somit ist [mm] \vektor{b \\ -a}+\vektor{d \\ -c}= \vektor{b+d \\ -(a+c)} \in [/mm] L.
Also ist nach Def. von L' [mm] \vektor{a+c \\ b+d} \in [/mm] L'.
Hiermit ist gezeigt, daß mit zwei beliebigen Vektoren aus L' auch ihre Summe in L' liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 24.10.2006 | | Autor: | Lapico |
Ich bin in derselben Vorlesung und habe Dank deiner Hilfe die a, Aufgabe kapiert. Die b, ist mir jedoch immer noch ein Rätsel, kann es sein, dass aus L nichtgleich R² folgt, dass L' auch nichtgleich R² ist und somit ist L u L' kein linerar Teilraum des R²?
Außerdem hab ich noch ein Problem mit dieser Aufgabe:
Bestimmen Sie Zahlen a,b,c R, so dass L die Lösungsmenge der Gleichung ax + by + cz = 0 ist.
Vielen Dank im Vorraus...
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>>b) Ist L ungleich {0} und L ungleich R², so ist L u L' KEIN linearer Teilraum des R²
> Die b, ist mir jedoch immer noch
> ein Rätsel, kann es sein, dass aus L nichtgleich R² folgt,
> dass L' auch nichtgleich R² ist und somit ist L u L' kein
> linerar Teilraum des R²?
Das hängt zwar alles miteinander zusammen, und Du hast auch nichts Falsches geschrieben, aber eine schlüssige Begründung ist das noch nicht.
War Basis und Dimension schon dran in Eurer Vorlesung? Klar. Oder?
Der [mm] \IR^2 [/mm] hat die Dimension 2, wird also von zwei linaear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Wenn L [mm] \not= \IR^2 [/mm] ist die Dimension von L <2. Denn der einzige lin. Teilraum der Dimension 2 ist [mm] \IR^2 [/mm] selbst. Weil n.V. [mm] L\not= [/mm] {0}, ist dim L >1, denn der einzige lineare Teilraum der Dimension 0 ist der Raum, der nur die Null enthält.
Also hat L die Dimension 1. L wird also aufgespannt von einem einzigen Vektor [mm] \vektor{a \\ b}\not= \vektor{0 \\ 0}, [/mm] d.h. es ist [mm] L=\{ \vektor{x \\ y} | \vektor{x \\ y}= \lambda \vektor{a \\ b}, \lambda\in \IR \}.
[/mm]
Anschaulich gesprochen ist das die Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems in Richtung [mm] \vektor{a \\ b}.
[/mm]
Was ist L'?
[mm] L'=\{\vektor{-y \\ x}| \vektor{x \\ y}\in L\}
[/mm]
Wie erhält man die Elemente von L' aus denen von L? Durch "Drehen" der Koordinaten.
Also ist L' die Menge der Vektoren, die man schreiben kann [mm] k\vektor{-b \\ a}, [/mm] also
[mm] L'=\{\vektor{x \\ y}| \vektor{x \\ y}=k\lambda\vektor{-b \\ a},\lambda\in \IR \}
[/mm]
Was liegt in L [mm] \cup [/mm] L'? die Linearkombinationen von [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] und die Linearkombinationen von [mm] \vektor{-b \\ a}, [/mm] aber nicht die Linearkombinationen aus [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] und [mm] \vektor{-b \\ a}.
[/mm]
Also ist L' nicht abgeschlossen gegenüber den linearen Operationen, denn die Summe eines Vektors aus L und eines aus L' liegt nicht in L [mm] \cup [/mm] L'.
Hierzu nochmal das Anschauungsbeispiel aus meinem ersten Post:
"Nun gucken wir uns mal einen bestimmten Unterraum S an, der soll die Gerade in Richtung des Vektors $ [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] $ sein.
Was ist nun S':= $ [mm] \{\vektor{-y \\ x} | (x, y) S\} [/mm] $ ?
Das ist die Menge aller Vektoren, die Du aus S durchs "Umdrehen" der Komponenten erhältst.
Mal es Dir auf, es ist eine Gerade, die senkrecht zu S ist. Natürlich ist die auch ein Untervektorraum.
Das war, anschaulich gesprochen, der Inhalt von Aufgabe a).
Was ist S $ [mm] \cup [/mm] $ S'?
Na, die Punkte beider Geraden zusammen, also dieses "Kreuz".
Ist das ein Vektorraum? Das Vielfache eines jeden Vektors liegt ja drin,
Doch nun kommt der Knackpunkt: $ [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{-2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 3} [/mm] $ liegt auf keiner der beiden Geraden, also nicht in S $ [mm] \cup [/mm] $ S'. Also ist S $ [mm] \cup [/mm] $ S' kein linearer Unterraum, denn dieser wäre abgeschlossen bzgl. der Addition und Multiplikation mit Skalaren. "
>
> Außerdem hab ich noch ein Problem mit dieser Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie Zahlen a,b,c R, so dass L die Lösungsmenge
> der Gleichung ax + by + cz = 0 ist.
Wir hatten oben festgestellt, daß L eindimensional ist. also gibt es einen Vektor [mm] \vektor{r \\ s}, [/mm] welcher L aufspannt, d.h. jeder [mm] \vektor{x \\ y}\in [/mm] L läßt sich schreiben als [mm] \vektor{x \\ y}=\lambda\vektor{r \\ s}.
[/mm]
[mm] ==>x=\lambda [/mm] r und [mm] y=\lambda [/mm] s.
Einsetzen in ax + by + cz = 0
ergibt [mm] a\lambda [/mm] r + b [mm] \lambda [/mm] s + cz=0 für alle [mm] \lambda.
[/mm]
Also muß es auch richtig sein für [mm] \lambda=1.
[/mm]
==> ar+bs+cz=0
Die Variable z kriegt man nur weg durch c=0.
Bleibt a r + b s =0
Hierfür gibt es drei Möglichkeiten. (Achtung, r,s sind fest. Nicht verhandelbar. Es stehn da Zahlen. Unsere Variablen sind a und b.)
Für [mm] a=-\mu [/mm] s und [mm] b=\mu [/mm] r klappt's . c=0, wie oben erwähnt.
Falls Deine Zeit zum Kopfzerbrechen begrenzt ist:
Das Nachdenken über die Geschichte oben ist wichtiger als die Gleichung, fürs Verständnis sogar sehr wichtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Lapico |
Vielen Dank für deine Hilfe. Leider haben wir noch keine Dimension und Basis durchgenommen, aber nach langen Grübeln werde ich schon deine Lösung durchschauen können =)! Vielen, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Trottel |
Ey, MEIN forum, meins meins meins.. xD
Ne quatsch, eher danke.. hast mir das abtippln erspart, weil ich die 4 auch ned versteh..
Wobei 4 b eher einfach ist oder? Da musst du dir ja nur das L in einer Dreier-Tupel (x , y, c) vorstellen un hast dann drei einzelne Zeilen mit denen man den Rest berechnen kann.
I x = [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
II y = 2 [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
III z = 3 [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
Anschließend vereinfachen und das Ergebnis müsste a = -1 ; b = 2 ; c = -1 sein.. ODER?! xD
mathe macht mir angst óÒ
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