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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4)^T \in (\IZ/5\IZ)^4 [/mm] mit
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1} \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}. [/mm] |
Hallo,
Wie gehe ich das genau an?
Die Menge [mm] \IZ/5\IZ [/mm] besteht ja aus den Elementen {0,1, 2, 3 4}, oder (da [mm] \IZ/5\IZ [/mm] : = {0,1, ... , n - 1})?
Wenn ich das LGS ganz normal löse erhalte ich für [mm] x_4 [/mm] = -0.5 und für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] jeweils 0.5. Dies entspricht auch der Lösung die WolframAlpha mit ausgibt (*).
Nun ist keines der Ergebnisse in der Menge enthalten, also habe ich anscheinend einen Fehler gemacht.
Ich hoffe, mir kann da jemand helfen.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Thomas
(*) ![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=1a%2B2b%2B3c%2B4d%3D1%2C+4a%2B1b%2B2c%2B3d%3D2%2C+3a%2B4b%2B1c%2B2d%3D3%2C+2a%2B3b%2B4c%2B1d%3D4
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> Bestimmen Sie alle [mm](x_1, x_2, x_3, x_4)^T \in (\IZ/5\IZ)^4[/mm]
> mit
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1} \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> = [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}.[/mm]
> Hallo,
>
> Wie gehe ich das genau an?
>
> Die Menge [mm]\IZ/5\IZ[/mm] besteht ja aus den Elementen {0,1, 2, 3
> 4}, oder (da [mm]\IZ/5\IZ[/mm] : = {0,1, ... , n - 1})?
Hallo,
ja, richtig.
> Wenn ich das LGS ganz normal löse erhalte ich für [mm]x_4[/mm] =
> -0.5 und für [mm]x_1, x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] jeweils 0.5. Dies entspricht
> auch der Lösung die WolframAlpha mit ausgibt (*).
Klasse, daß Du das so verlinkt hast! Da spart man sich die Kontrolleingabe.
>
> Nun ist keines der Ergebnisse in der Menge enthalten, also
> habe ich anscheinend einen Fehler gemacht.
Gerechnet hast Du ja schonmal prinzipiell richtig, wie uns Wolfram sagt.
Nur mußt Du nun in den restklassen mod 5 rechnen, was aber viel bequemer ist, weil man nicht mit Brüchen rechnet und die Zahlen freundlich klein sind.
Bring das System auf ZSF, indem Du von Anfang an in den Restklassen modulo 5 rechnest:
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4&&|1 \\ 4 & 1 & 2 & 3&&|2 \\ 3 & 4 & 1 & 2&&|3 \\ 2 & 3 & 4 & 1&&|4} [/mm]
(2. Zeile +1. Zeile)
(3.Zeile +2*1.Zeile)
(4.Zeile +3*1.Zeile)
--> [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4&&|1 \\ 0 & 3 & 0 & 2&&|3 \\ 0 & 1 & 2 & 0&&|0 \\ 0 & 4 & 3 & 3&&|2} [/mm]
(2.Zeile * 2)
--> [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4&&|1 \\ 0 & 1 & 0 & 4&&|1 \\ 0 & 1 & 2 & 0&&|0 \\ 0 & 4 & 3 & 3&&|2} [/mm]
Gruß v. Angela
>
> (*)
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=1a%2B2b%2B3c%2B4d%3D1%2C+4a%2B1b%2B2c%2B3d%3D2%2C+3a%2B4b%2B1c%2B2d%3D3%2C+2a%2B3b%2B4c%2B1d%3D4
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Hallo Angela,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Hab jetzt mal folgendes gerechnet:
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 3 & 1 & 2 & 3 | 2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 | 3 \\ 2 & 3 & 4 & 1 | 4}
[/mm]
2. Zeile + 1. Zeile
3. Zeile + 2*1.Zeile
4. Zeile + 3*1.Zeile
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 3 & 0 & 2 | 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 | 0 \\ 0 & 4 & 3 & 3 | 2}
[/mm]
2. Zeile * 2
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 | 0 \\ 0 & 4 & 3 & 3 | 2}
[/mm]
3. Zeile + 2*2.Zeile
4. Zeile + 2. Zeile
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 | 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 | 3}
[/mm]
4. Zeile + 3. Zeile
[mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0}
[/mm]
Aufgrund der letzten Zeile ist [mm] x_4 [/mm] nun frei wählbar. Also [mm] x_4 [/mm] = 0
in III.) [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 2
=> [mm] 2x_3 [/mm] = 2
=> [mm] x_3 [/mm] = 1
in II.) [mm] x_2 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 1
[mm] =>x_2 [/mm] = 1
in I.) [mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 1
=> [mm] x_1 [/mm] + 2 + 3 = 1
=> [mm] x_1 [/mm] = 1
Ist das so richtig, oder muss ich beim Auflösen etwas anders machen, wenn ich in den Restklassen modulo 5 rechne?
Vielen Dank für Hilfe und liebe Grüße,
Thomas
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> Hallo Angela,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Hab jetzt mal folgendes gerechnet:
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 3 & 1 & 2 & 3 | 2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 | 3 \\ 2 & 3 & 4 & 1 | 4}[/mm]
>
> 2. Zeile + 1. Zeile
> 3. Zeile + 2*1.Zeile
> 4. Zeile + 3*1.Zeile
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 3 & 0 & 2 | 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 | 0 \\ 0 & 4 & 3 & 3 | 2}[/mm]
>
> 2. Zeile * 2
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 | 0 \\ 0 & 4 & 3 & 3 | 2}[/mm]
>
> 3. Zeile + 2*2.Zeile
> 4. Zeile + 2. Zeile
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 | 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 | 3}[/mm]
>
> 4. Zeile + 3. Zeile
>
> [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 | 1\\ 0 & 1 & 0 & 4 | 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0}[/mm]
> Aufgrund der letzten Zeile ist [mm]x_4[/mm] nun frei wählbar. Also
> [mm]x_4[/mm] = 0
>
> in III.) [mm]2x_3[/mm] + [mm]3x_4[/mm] = 2
> => [mm]2x_3[/mm] = 2
> => [mm]x_3[/mm] = 1
>
> in II.) [mm]x_2[/mm] + [mm]4x_4[/mm] = 1
> [mm]=>x_2[/mm] = 1
>
> in I.) [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]4x_4[/mm] = 1
> => [mm]x_1[/mm] + 2 + 3 = 1
> => [mm]x_1[/mm] = 1
>
> Ist das so richtig, oder muss ich beim Auflösen etwas
> anders machen, wenn ich in den Restklassen modulo 5
> rechne?
Hallo,
jein.
Es ist so nicht ganz richtig.
Man macht es in den Restklassen nicht anders als sonst.
Du hast jetzt eine der vielen Lösungen bestimmt, indem Du völlig willkürlich [mm] x_4=0 [/mm] festgelegt hast.
Wir wollen aber alle lösungen.
Du sagst selbst: [mm] x_4 [/mm] ist frei wähllbar,
setzen wir
[mm] x_4=r
[/mm]
Dann ist
[mm] 2x_3=2-3r=2+2r [/mm]
<==>
[mm] x_3=1+r
[/mm]
[mm] x_2=1-4r=1+r
[/mm]
[mm] x_1=1-2x_2-3x-3-4r=1+3x_2+2x_3+r=1+3+3r [/mm] + 2+2r+r=0+r,
damit haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{1\\1\\1\\0}+r*\vektor{1\\1\\1\\1}.
[/mm]
Wenn Du nun noch bedenkst, daß r nur 5 Werte annehmen kann, dann kannst Du die Lösungen auch aufzählend angeben.
Achtung: mir ist gerade ein Fehler im ersten Post eingefallen: man kann überhaupt nicht normal rechnen, denn in [mm] \IR [/mm] hat die 5 ein inverses, in den Restklassen mod 5 aber nicht.
Ich korrigiere das gleich.
Gruß v. Angela
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Okay, das ergibt alles Sinn. Dankeschön!
Nur eine kleine Nachfrage noch. Du schreibst
"damit haben die Lösungen die Gestalt r*{1111 } "
Ich nehme an, dass das nicht richtig formatiert wurde, da es so unvollständig aussieht.
Ist das dann auch noch ein Vektor? Oder womit wird das r noch multipliziert?
Liebe Grüße und nochmals vielen Dank für deine großartige Hilfe.
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> Okay, das ergibt alles Sinn. Dankeschön!
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> Nur eine kleine Nachfrage noch. Du schreibst
>
> "damit haben die Lösungen die Gestalt r*{1111 } "
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> Ich nehme an, dass das nicht richtig formatiert wurde, da
> es so unvollständig aussieht.
> Ist das dann auch noch ein Vektor? Oder womit wird das r
> noch multipliziert?
Hallo,
ja, natürlich sollte das auch ein Vektor sein, nämlich [mm] \vektor{1\\1\\1\\1}.
[/mm]
Freut mich, daß meine Hinweise nützlich waren.
Gruß v. Angela
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