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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 22.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Gegeben ist folgendes LGS:
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 1x_3 [/mm] = a
[mm] 4x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] - [mm] 1x_3 [/mm] = b
[mm] 7x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 1x_3 [/mm] = c
Ich soll nun alle tripel (a,b,c) bestimmen für die das LGS
i) keine ii) genau eine und iii) mehrere Lösungen hat.
Meine Frage wie gehe ich hier genau vor ??
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 22.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
am besten du liest dir mal ein entspr. Kapitel in einem Buch über Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen durch.
siehe auch bei ![[]](/images/popup.gif) WIKI
Hier mal ein Überblick: Du hast die Erweiterte Koeffizientenmatrix gegeben:
[mm] $\pmat{3&-2&1&|&a\\4&4&-1&|&b\\7&-2&1&|&c}$
[/mm]
du machst jetzt den Guaß-Algo und bringst das Teil auf Zeilenstufenform - aber machst alle Zeilenumformungen auch mit dem Lösungsvektor auf der rechten Seite.
wenn danach der Lösungsvektor mehr Nicht-Null-Einträge als es Nicht-Null-Zeilen in der Zeilenstufenform gibt, ist das Gleichungssystem nicht lösbar...
Der Rest geht dann so ähnlich - kannst ja mal schauen ob du eindeutige Lösbarkeit auch ablesen kannst an der Zeilenstufenform.
Es geht übrigens auch über Determinanten..
Frage ruhig nach, wenn du deine Ergebnisse mal überprüft haben möchtest..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 22.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Nach dem Gauß-Algo habe ich dann folgende erw.Koeff.matrix:
[mm] \vmat{ 3 & -2 & 1 & | & a \\ 0 & 20 & -7 & | & 3b - 4a \\ 0 & 0 & 34 & | & 15c - 27a - -6b}
[/mm]
Jetzt muss ich wohl nur noch entsprechende Werte für a, b,c suchen damit 34 als Lösung herauskommt und das ist dann die eindeutige Lösung ?
Wie geht es aber dannw eiter mit keiner und mehreren Lösungen ?
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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das LGS ist nicht lösbar, wenn auf der rechten Seite 0 steht und auf der linken Seite Werte ungleich 0. Also ist in deinem Fall das LGS für
15c-27a-6b = 0 nicht lösbar.
Ein LGS hat mehrere Lösungen, wenn es Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen. Dies ist bei dir nicht der Fall.
Eindeutig lösbar ist das LGS, wenn 15c-27a-6b ungleich 0 ist.
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