Lineares Homogenes DGLSystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 30.12.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Differenzialgleichungssystem
[mm] x_{1}' [/mm] = [mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - 1
[mm] x_{2}' [/mm] = [mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] e^{t}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems.
b) Lösen Sie das (inhomogene) System.
c) Geben Sie die maximale spezielle Lösung an, die die Anfangsbedingung y(0) = (1,-1) erfüllt. |
Hallo an alle,
ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme. Hier ist das was ich bis jetzt habe:
a)
Homogenes System:
[mm] x_{1}' [/mm] = [mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] x_{2}' [/mm] = [mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}
[/mm]
Exponentialansatz:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] K_{1}*e^{\lambda t} [/mm] --> [mm] x_{1}' [/mm] = [mm] \lambda*K_{1}*e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] K_{2}*e^{\lambda t} [/mm] --> [mm] x_{2}' [/mm] = [mm] \lambda*K_{2}*e^{\lambda t}
[/mm]
in homogenes System eingesetzt:
[mm] \lambda*K_{1}*e^{\lambda t} [/mm] = [mm] 4K_{1}*e^{\lambda t} [/mm] + [mm] K_{2}*e^{\lambda t} [/mm] --> [mm] \lambda*K_{1} [/mm] = [mm] 4K_{1} [/mm] + [mm] K_{2}
[/mm]
[mm] \lambda*K_{2}*e^{\lambda t} [/mm] = [mm] -2K_{1}*e^{\lambda t} [/mm] + [mm] K_{2}*e^{\lambda t} [/mm] --> [mm] \lambda*K_{2} [/mm] = [mm] -2K_{1} [/mm] + [mm] K_{2}
[/mm]
0 = [mm] det\vmat{ (4-\lambda) & 1 \\ -2 & (1-\lambda) } [/mm] = [mm] (4-\lambda)*(1-\lambda)+2 [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 5\lambda [/mm] + 6
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{13}{2}}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{(\bruch{5}{2} + \wurzel{\bruch{13}{2}})t} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{(\bruch{5}{2} - \wurzel{\bruch{13}{2}})t}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{(\bruch{5}{2} + \wurzel{\bruch{13}{2}})t} ((\bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{13}{2}}) [/mm] -4) + [mm] C_{2}*e^{(\bruch{5}{2} - \wurzel{\bruch{13}{2}})t} ((\bruch{5}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{13}{2}}) [/mm] -4)
Obwohl mir die Ergebnisse sehr komisch vorkommen, habe ich es bis jetzt 2 mal gerechnet und kam immer auf das. Ich hoffe wenigstens das ist richtig?
Zu b) habe ich leider gar keine Ahnung, als wir das behandelt hatten, war ich krank und ich werde aus den beispielen im Netz auch echt nicht schlau. Ich hoffe jemand kann mir es verständlich erklären.
Folgendes habe ich schon herausgefunden:
1. Ich brauche die Lösung des homogenen Systems
2. Ich brauche die partikuläre Lösung.
3. Ich muss beide Lösungen addieren.
Jetzt ist mein Problem, dass ich in der Klausur keine Hilfsmittel benutzen darf, und ich aber bei der Partikulären Lösung eine Tabelle brauche. Gibt es noch andere Möglichkeiten?
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Hallo Robse,
> Gegeben sei das lineare Differenzialgleichungssystem
>
> [mm]x_{1}'[/mm] = [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - 1
> [mm]x_{2}'[/mm] = [mm]-2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]e^{t}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des zugehörigen
> homogenen Systems.
> b) Lösen Sie das (inhomogene) System.
> c) Geben Sie die maximale spezielle Lösung an, die die
> Anfangsbedingung y(0) = (1,-1) erfüllt.
>
> Hallo an alle,
>
> ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme. Hier ist das
> was ich bis jetzt habe:
> a)
> Homogenes System:
> [mm]x_{1}'[/mm] = [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
> [mm]x_{2}'[/mm] = [mm]-2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
>
> Exponentialansatz:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]K_{1}*e^{\lambda t}[/mm] --> [mm]x_{1}'[/mm] =
> [mm]\lambda*K_{1}*e^{\lambda t}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]K_{2}*e^{\lambda t}[/mm]
> --> [mm]x_{2}'[/mm] = [mm]\lambda*K_{2}*e^{\lambda t}[/mm]
>
> in homogenes System eingesetzt:
> [mm]\lambda*K_{1}*e^{\lambda t}[/mm] = [mm]4K_{1}*e^{\lambda t}[/mm] +
> [mm]K_{2}*e^{\lambda t}[/mm] --> [mm]\lambda*K_{1}[/mm] = [mm]4K_{1}[/mm] + [mm]K_{2}[/mm]
> [mm]\lambda*K_{2}*e^{\lambda t}[/mm] = [mm]-2K_{1}*e^{\lambda t}[/mm] +
> [mm]K_{2}*e^{\lambda t}[/mm] --> [mm]\lambda*K_{2}[/mm] = [mm]-2K_{1}[/mm] + [mm]K_{2}[/mm]
>
> 0 = [mm]det\vmat{ (4-\lambda) & 1 \\ -2 & (1-\lambda) }[/mm] =
> [mm](4-\lambda)*(1-\lambda)+2[/mm] = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]5\lambda[/mm] + 6
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{13}{2}}[/mm]
>
Rechne diese Lösungen noch einmal nach.
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]C_{1}*e^{(\bruch{5}{2} + \wurzel{\bruch{13}{2}})t}[/mm]
> + [mm]C_{2}*e^{(\bruch{5}{2} - \wurzel{\bruch{13}{2}})t}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm]
> = [mm]C_{1}*e^{(\bruch{5}{2} + \wurzel{\bruch{13}{2}})t} ((\bruch{5}{2}[/mm]
> + [mm]\wurzel{\bruch{13}{2}})[/mm] -4) + [mm]C_{2}*e^{(\bruch{5}{2} - \wurzel{\bruch{13}{2}})t} ((\bruch{5}{2}[/mm]
> - [mm]\wurzel{\bruch{13}{2}})[/mm] -4)
>
> Obwohl mir die Ergebnisse sehr komisch vorkommen, habe ich
> es bis jetzt 2 mal gerechnet und kam immer auf das. Ich
> hoffe wenigstens das ist richtig?
>
> Zu b) habe ich leider gar keine Ahnung, als wir das
> behandelt hatten, war ich krank und ich werde aus den
> beispielen im Netz auch echt nicht schlau. Ich hoffe jemand
> kann mir es verständlich erklären.
>
> Folgendes habe ich schon herausgefunden:
> 1. Ich brauche die Lösung des homogenen Systems
> 2. Ich brauche die partikuläre Lösung.
> 3. Ich muss beide Lösungen addieren.
>
> Jetzt ist mein Problem, dass ich in der Klausur keine
> Hilfsmittel benutzen darf, und ich aber bei der
> Partikulären Lösung eine Tabelle brauche. Gibt es noch
> andere Möglichkeiten?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Robse |
Danke schonmal bis hierhin. Ich habe jetzt folgendes:
[mm] det\vmat{ A - \lambda E } [/mm] = 0 mit A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }
[/mm]
[mm] det\vmat{ (4-\lambda) & 1 \\ -2 & (1-\lambda) } [/mm] = [mm] (4-\lambda)*(1-\lambda) [/mm] - (-2)*1 = [mm] (4-\lambda)*(1-\lambda) [/mm] + 2 = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 5\lambda [/mm] + 6
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{25}{4} - 6} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{25}{4} - \bruch{24}{4}}
[/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
Dann lautet die Lösung natürlich:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{3t} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{2t}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -C_{1}*e^{3t} [/mm] - [mm] 2C_{2}*e^{2t}
[/mm]
Ich hoffe mal, ich habe jetzt auf die schnelle nicht wieder einen Schusselfehler reingehauen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal bis hierhin. Ich habe jetzt folgendes:
>
> [mm]det\vmat{ A - \lambda E }[/mm] = 0 mit A = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]det\vmat{ (4-\lambda) & 1 \\ -2 & (1-\lambda) }[/mm] =
> [mm](4-\lambda)*(1-\lambda)[/mm] - (-2)*1 = [mm](4-\lambda)*(1-\lambda)[/mm]
> + 2 = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]5\lambda[/mm] + 6
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{25}{4} - 6}[/mm]
> = [mm]\bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{25}{4} - \bruch{24}{4}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
>
> Dann lautet die Lösung natürlich:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]C_{1}*e^{3t}[/mm] + [mm]C_{2}*e^{2t}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-C_{1}*e^{3t}[/mm] - [mm]2C_{2}*e^{2t}[/mm]
>
> Ich hoffe mal, ich habe jetzt auf die schnelle nicht wieder
> einen Schusselfehler reingehauen?
Jetzt stimmts
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Robse |
Das ist schön, und wie geht es jetzt mit dem inhomogenen Gleichungssystem weiter? Da habe ich weiterhin keinen Plan....
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Hallo Robse,
> Das ist schön, und wie geht es jetzt mit dem inhomogenen
> Gleichungssystem weiter? Da habe ich weiterhin keinen
> Plan....
Wähle den Ansatz der Inhomogenität entsprechend.
Das geht aber nur, wenn die Inhomogenität oder ein Teil von ihr
nicht Lösung der homogenen DGL ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Robse |
Also ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe. Ich hätte jetzt wie folgt weiter gemacht:
Lösung der homogenen Gleichung:
[mm] x_{01} [/mm] = [mm] C_{1}e^{3t} [/mm] + [mm] C_{2}e^{2t}
[/mm]
[mm] x_{02} [/mm] = [mm] -C_{1}e^{3t} [/mm] - [mm] 2C_{2}e^{2t}
[/mm]
Partikuläre Lösung:
Aus dem Papular hab ich folgendes:
Wenn g(t) = -1 (also die Störfunktion) eine konstante Funktion ist, dann lautet der Lösungsansatz [mm] x_{P1} [/mm] = [mm] c_{0}
[/mm]
[mm] x_{P1}' [/mm] = 0
Über g(t) = [mm] e^{t} [/mm] habe ich den Ansatz g(t) = [mm] A*e^{bt} [/mm] gewählt, mit A=0 und b=1.
Also: [mm] x_{P2} [/mm] = [mm] C*e^{bt} [/mm] = [mm] C*e^{t} [/mm] und [mm] x_{P2}' [/mm] = [mm] C*e^{t}
[/mm]
Einsetzten in das inhomogene DGLSystem:
0 = [mm] 4*c_{0} [/mm] + [mm] C*e^{t} [/mm] - 1
[mm] C*e^{t} [/mm] = [mm] -2*c_{0} [/mm] + [mm] C*e^{t} [/mm] + [mm] e^{t}
[/mm]
Muss ich jetzt nach [mm] c_0 [/mm] auflösen?
Ist das überhaupt der richtige Weg? und wenn ja, wie merkt man sich das, wenn man in der Klausur keine Hilfsmittel verwenden darf?
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Hallo Robse,
> Also ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe. Ich
> hätte jetzt wie folgt weiter gemacht:
>
> Lösung der homogenen Gleichung:
> [mm]x_{01}[/mm] = [mm]C_{1}e^{3t}[/mm] + [mm]C_{2}e^{2t}[/mm]
> [mm]x_{02}[/mm] = [mm]-C_{1}e^{3t}[/mm] - [mm]2C_{2}e^{2t}[/mm]
>
>
> Partikuläre Lösung:
> Aus dem Papular hab ich folgendes:
> Wenn g(t) = -1 (also die Störfunktion) eine konstante
> Funktion ist, dann lautet der Lösungsansatz [mm]x_{P1}[/mm] =
> [mm]c_{0}[/mm]
> [mm]x_{P1}'[/mm] = 0
>
> Über g(t) = [mm]e^{t}[/mm] habe ich den Ansatz g(t) = [mm]A*e^{bt}[/mm]
> gewählt, mit A=0 und b=1.
> Also: [mm]x_{P2}[/mm] = [mm]C*e^{bt}[/mm] = [mm]C*e^{t}[/mm] und [mm]x_{P2}'[/mm] = [mm]C*e^{t}[/mm]
>
> Einsetzten in das inhomogene DGLSystem:
> 0 = [mm]4*c_{0}[/mm] + [mm]C*e^{t}[/mm] - 1
> [mm]C*e^{t}[/mm] = [mm]-2*c_{0}[/mm] + [mm]C*e^{t}[/mm] + [mm]e^{t}[/mm]
>
> Muss ich jetzt nach [mm]c_0[/mm] auflösen?
> Ist das überhaupt der richtige Weg? und wenn ja, wie
> merkt man sich das, wenn man in der Klausur keine
> Hilfsmittel verwenden darf?
Der Ansatz, den Du für die partikuläre Lösung machst, lautet:
[mm]\pmat{x_{P1} \\ x_{P2}}=\pmat{a_{1} \\ a_{2}}+\pmat{b_{1} \\ b_{2}}e^{t}, \ a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 03.01.2013 | | Autor: | Robse |
Tut mir leid, leider kann ich mit deiner Erklärung gar nichts anfangen. Ich kenne weder den Hintergrund, noch die Herleitung, oder ob sie allgemeingültig ist, oder nur auf diese Aufgabe anwendbar ist. Hilft mir also bei dem Verständnisproblem gar nicht weiter.
Ich hatte gestern dann zum Glück im Netz noch eine Erklärung gefunden und bis jetzt dabei, die nachzurechnen. Doch ich scheitere auch daran. Vllt kann ja jemand drüber gucken, ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe.
Zuerst habe ich die Eigenwerte der Matrix A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 } [/mm] ausgerechnet: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
Jetzt bilde ich zu den Eigenwerten die Eigenvektoren:
zu [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 --> [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] --> [mm] x_{1} [/mm] = [mm] e^{3t}*\vektor{0 \\ 3}
[/mm]
zu [mm] \lambda_{2} [/mm] = 2 --> [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] --> [mm] x_{2} [/mm] = [mm] e^{2t}*\vektor{0 \\ 2}
[/mm]
Daraus folgt dann die Wronskimatrix mit W(t) = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 3*e^{3t} & 2*e^{2t} }
[/mm]
Jetzt muss ich diese Matrix invertieren. Doch meiner Meinung ist sie nicht invertierbar?
Hab ich bis hier hin irgendwo einen Fehler drin? Bitte vllt auch mit Erklärung (wenn es über Schreib- oder Rechenfehler hinausgeht).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Do 03.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Deine "Eigenvektoren" sind falsch.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 03.01.2013 | | Autor: | Robse |
Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 --> EV = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] --> [mm] x_{1} [/mm] = [mm] e^{3t}*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2 --> EV = [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] --> [mm] x_{2} [/mm] = [mm] e^{2t}*\vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
Wronskimatrix:
W(t) = [mm] \pmat{ -e^{3t} & -e^{2t} \\ e^{3t} & 2e^{2t} } [/mm] --invertiert--> [mm] W(t)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ -2e^{-3t} & -e^{-3t} \\ e^{-2t} & e^{-2t} } [/mm] (ich hoffe ich habe richtig invertiert?)
partikuläre Lösung:
[mm] x_{p} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{4}{3}e^{-6t} - \bruch{3}{2}e^{-5t} + e^{-4t}\\ -\bruch{2}{3}e^{-5t} + e^{-4t} + e^{-3t}}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Robse,
> Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 --> EV = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] --> [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]e^{3t}*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2 --> EV =
> [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] --> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]e^{2t}*\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> Wronskimatrix:
> W(t) = [mm]\pmat{ -e^{3t} & -e^{2t} \\ e^{3t} & 2e^{2t} }[/mm]
> --invertiert--> [mm]W(t)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ -2e^{-3t} & -e^{-3t} \\ e^{-2t} & e^{-2t} }[/mm]
> (ich hoffe ich habe richtig invertiert?)
>
Ja, Du hast richtig invertiert.
> partikuläre Lösung:
> [mm]x_{p}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{4}{3}e^{-6t} - \bruch{3}{2}e^{-5t} + e^{-4t}\\ -\bruch{2}{3}e^{-5t} + e^{-4t} + e^{-3t}}[/mm]
>
Poste dazu die Rechenschritte.
> Ist das richtig?
Gruss
MathePower
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