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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 10.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Gegeben ist folgendes System:
Ax=b
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 0 \\ 5 }
[/mm]
dann habe ich zunächst die 2. zeile - 4. zeile gerechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 0 \\ -3 }
[/mm]
und dann die 2. zeile - 3. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 2 \\ -3 }
[/mm]
dann habe ich 1. Zeile - 2. Zeile gerechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 1 \\ 2 \\ -3 }
[/mm]
dürfte ich jetzt die 3. zeile mit der 4. multiplizieren damit ich diese dreiecksform habe ??
oder darf man das nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 10.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich glaube du hast dich an einigen Stellen verrechnet:
Bei mir kommt raus:
[mm] \stackrel{G_{2}-G_{3};5G_{2}-G_{4}}\Leftrightarrow\pmat{1&2&3&4\\0&1&1&1\\0&0&-1&-1\\0&0&-3&-3}=\pmat{3\\1\\-2\\-6}
[/mm]
dann habe ich [mm] 3*G_3-G_4 [/mm] gerechnet und komme auf:
[mm] \pmat{1&2&3&4\\0&1&1&1\\0&0&-1&-1\\0&0&0&0}=\pmat{3\\1\\-2\\0}
[/mm]
heißt das jetzt, dass [mm] x_1=x_2=x_3=0 [/mm] sind`??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 10.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube du hast dich an einigen Stellen verrechnet:
>
> Bei mir kommt raus:
>
> [mm]\stackrel{G_{2}-G_{3};5G_{2}-G_{4}}\Leftrightarrow\pmat{1&2&3&4\\0&1&1&1\\0&0&-1&-1\\0&0&-3&-3}=\pmat{3\\1\\-2\\-6}[/mm]
>
> dann habe ich [mm]3*G_3-G_4[/mm] gerechnet und komme auf:
>
> [mm]\pmat{1&2&3&4\\0&1&1&1\\0&0&-1&-1\\0&0&0&0}=\pmat{3\\1\\-2\\0}[/mm]
>
> heißt das jetzt, dass [mm]x_1=x_2=x_3=0[/mm] sind'??
Ich hab keine Ahnung wer richtig gerechnet hat, aber [mm]x_1=x_2=x_3=0[/mm] stimmt nicht, das sieht nan sofort, wenn man sich
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 & 0 } [/mm] x$ = $ [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 0 \\ 5 } [/mm] $
anschaut.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 10.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich hab eben noch einmal nachgerechnet und komme wieder auf das Ergebnis... das bringt mich jetzt nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 10.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ich hab eben noch einmal nachgerechnet und komme wieder auf
> das Ergebnis... das bringt mich jetzt nicht weiter
>
Dann zeig mal dein Ergebnis, ich habe meines eben nachgerechnet, und korrigiert.
Ich habe dann:
[mm] \pmat{1&2&3&4\\
0&1&1&1\\
0&0&-1&-1\\
0&0&-3&1}=\pmat{3\\
1\\
-2\\
-6} [/mm]
[mm] \stackrel{G_{3}\cdot(-1)}{\Leftrightarrow}\pmat{1&2&3&4\\
0&1&1&1\\
0&0&1&1\\
0&0&-3&1}=\pmat{3\\
1\\
2\\
-6} [/mm]
[mm] \stackrel{3G_{3}+G_{4}}{\Leftrightarrow}\pmat{1&2&3&4\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&4}=\pmat{3\\1\\2\\0} [/mm]
Damit kommst du zwar auch [mm] x_{4}=0, [/mm] aber die anderen Varibaleblen sind nicht alle Null.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 So 10.07.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich habe die letzte Zeile anders.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 10.07.2011 | | Autor: | Balsam |
okay ich schreibe mal alle meine Zwischenschritte auf bzw. Ergebnisse:
[mm] GL_1-GL_2:
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 1&1&1&2\\ -2&1&2&0}=\pmat{3\\ 1\\ 0\\ 5}
[/mm]
dann [mm] GL_1-GL_3:
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 0&1&2&2\\ -2&1&2&0}=\pmat{3\\ 1\\ 3\\ 5}
[/mm]
dann [mm] 2GL_1+GL_4:
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 0&1&2&2\\ 0&5&8&8}=\pmat{3\\ 1\\ 3\\ 11}
[/mm]
[mm] gl_2-gl_3:
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 0&0&-1&-1\\ 0&5&8&8}=\pmat{3\\ 1\\ -2\\ 11}
[/mm]
[mm] 5gl_2-gl_4
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 0&0&-1&-1\\ 0&0&-3&-3}=\pmat{3\\ 1\\ -2\\ -6}
[/mm]
[mm] 3GL_3-GL_4:
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&3&4\\ 0&1&1&1\\ 0&0&-1&-1\\ 0&0&0&0}=\pmat{3\\ 1\\ -2\\ 0}
[/mm]
wo liegt jetzt mein fehler?
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Da ist kein Fehler. Du kannst jetzt die Variable [mm] $x_4$ [/mm] umbenennen und den Lösungsraum ermitteln.
Man sieht hier jedoch auch, dass du noch folgende Schritte machen kannst:
[mm] $+2L_2\to L_1$
[/mm]
[mm] $+3L_3\to L_1$
[/mm]
[mm] $+1L_3\to L_2$
[/mm]
Dann hast du es doch auch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Tut mir ja wirklich leid, aber ich kann mit deiner Schreibweise nicht wirklich was anfangen.
Meinst du mit [mm] 2L_2 [/mm] -> [mm] L_1 [/mm] = [mm] 2L_2 [/mm] + [mm] L_1 [/mm] ? ??? :S
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Ich meine mit [mm]n*L_k \to L_m[/mm] n-mal Linie (Zeile) k auf die Zeile m addieren.
[mm] \pmat{1&2&3&4\\
0&1&1&1\\
0&0&-1&-1\\
0&0&0&0}\pmat{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=\pmat{3\\
1\\
-2\\
0} [/mm]
wird dann zu
[mm] \pmat{1&0&0&1\\
0&1&0&0\\
0&0&1&1\\
0&0&0&0}\pmat{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=\pmat{-1\\
-1\\
2\\
0} [/mm]
wählst du [mm] $x_4=t$, [/mm] dann hast du doch
[mm]\pmat{-1-t\\
-1\\
2-t\\
t}=t\pmat{-1\\
0\\
-1\\
1}+\pmat{-1\\
-1\\
2\\
0}[/mm]
(beachte die Uhrzeit, da kann auch jetzt ein Fehler drin stecken.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 19.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
das wäre die allgemeine Lösung zu Ax=b ?
Wie müsste man denn das Element [mm] b_4 [/mm] umändern, damit das entstehende Gleichungssystem unlösbar wird?
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Hallo mml2011,
> das wäre die allgemeine Lösung zu Ax=b ?
Ja, ich komme auch auf wischoos Lösung!
>
> Wie müsste man denn das Element [mm]b_4[/mm] umändern, damit das
> entstehende Gleichungssystem unlösbar wird?
Na, ändere das Element doch ein wenig ab, so dass am Ende in ZSF in der letzten Zeile nicht $0=0$ steht, sondern meinetwegen $0=1$ ...
Nun?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 So 10.07.2011 | | Autor: | wieschoo |
Wenn du da jetzt weiter rechnest, kommst du noch weiter
Und nun bringen wir die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform:
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\
-2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 2 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 1 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\
-2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 3 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 1 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\
-2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 4 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 1 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\
0 & 5 & 8 & 8 & 11 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 2 auf 1 normieren, indem wir durch [mm]-1[/mm] dividieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\
0 & 5 & 8 & 8 & 11 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 1 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 2 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\
0 & 5 & 8 & 8 & 11 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 3 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 2 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 5 & 8 & 8 & 11 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 4 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 2 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 3 & 3 & 6 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 3 auf 1 normieren, indem wir durch [mm]-1[/mm] dividieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 3 & 6 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 1 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 3 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 3 & 6 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 2 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 3 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 3 & 6 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 4 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 3 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix:
[mm]A=\left( \begin {array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\
-2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\
\end {array} \right) [/mm]
lautet:
[mm]\tilde{A}=\left( \begin {array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
Da kannst du es jetzt ablesen. (Dieser Weg ist langer aber korrekt)
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Gauß-Algorithmus
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