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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
ich habe eine AUfgabe zu Zerfällungskörpern. Zuerst soll ich ein Polynom in Linearfaktoren zerlegen. (in [mm] \IZ_{13})
[/mm]
Ich habe zwar schon die Lösung, weiß aber nicht genau, wie ich da letztendlich drauf kome.
Und zwar geht es um das Polynom: [mm] x^{6}-7x^{4}+3x^{3}+3
[/mm]
als erstes habe ich die nullstellen 1 und -1 herausgefunden.
also ist die erste zerlegung
[mm] (x+1)(x-1)(x^{4}-x^{2}+3)
[/mm]
[mm] (x^{4}-x^{2}+3)
[/mm]
muss jetzt nochmal zerlegt werden in [mm] (x^{2}+2)(x^{2}+5)
[/mm]
aber wie komme ich darauf?
es wurde gesagt, dass es mit substitution geht. aber irgendwie komme ich damit nicht weiter.
würde mich sehr über hilfe freuen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Fr 04.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich habe eine AUfgabe zu Zerfällungskörpern. Zuerst soll
> ich ein Polynom in Linearfaktoren zerlegen. (in [mm]\IZ_{13})[/mm]
> Ich habe zwar schon die Lösung, weiß aber nicht genau,
> wie ich da letztendlich drauf kome.
> Und zwar geht es um das Polynom: [mm]x^{6}-7x^{4}+3x^{3}+3[/mm]
>
> als erstes habe ich die nullstellen 1 und -1
> herausgefunden.
> also ist die erste zerlegung
> [mm](x+1)(x-1)(x^{4}-x^{2}+3)[/mm]
>
> [mm](x^{4}-x^{2}+3)[/mm]
> muss jetzt nochmal zerlegt werden in [mm](x^{2}+2)(x^{2}+5)[/mm]
> aber wie komme ich darauf?
Das glaube ich nicht. Wenn du [mm] $(x^2 [/mm] + 2) [mm] (x^2 [/mm] + 5)$ ausmultiplizierst, steht hinten eine +10, und das ist auch modulo 13 nicht kongruent zu 3. (Jedoch zu -3.)
Aber nehmen wir mal an es stimmt.
Wenn du $y := [mm] x^2$ [/mm] substituierst, steht dort [mm] $y^2 [/mm] - y + 3$. Jetzt kannst du ganz gewohnt quadratische Ergaenzung machen und hast schliesslich sowas wie $(y + [mm] c)^2 [/mm] = d$ mit $c, d [mm] \in \IZ_{13}$. [/mm] Jetzt musst du [mm] $\sqrt{d}$ [/mm] in [mm] $\IZ_{13}$ [/mm] bestimmen -- bzw. herausfinden dass es das nicht gibt (in dem Fall ist [mm] $y^2 [/mm] - y + 3$ irreduzibel).
Wurzeln in endlichen Koerpern bestimmen macht nicht ganz so viel Spass, aber mit einem Taschenrechner bzw. mit Maple oder so geht es ganz gut alles durchzuprobieren 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
da hast du recht.
es sollte auch -3 heißen. ich habe mich auf meine zettel irgendwo verschrieben und das dann so übernommen. habe auch dauernd mit der falschen zahl gerechnet.
aber auch mit -3 komme ich nicht auf die lösung.
danke übrigens für die hilfe
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Hallo Vicky89,
> da hast du recht.
> es sollte auch -3 heißen. ich habe mich auf meine zettel
> irgendwo verschrieben und das dann so übernommen. habe
> auch dauernd mit der falschen zahl gerechnet.
> aber auch mit -3 komme ich nicht auf die lösung.
>
> danke übrigens für die hilfe
Das zu betrachtende Polynom muß doch
[mm]x^{4}-\blue{6}*x^{2}-3[/mm]
lauten
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
oh nein...klar..das erklärt natürlich einiges...
ich hatte es auch so da stehen...
beim nächsten mal werde ich mehr drauf achten, was auf meinem zettel steht ;)
vielen dank!
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:47 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
jetzt habe ich aber doch noch eine frage zu der aufgabe.
im zweiten teil der aufgabe soll nun der zerfällungskörper bestimmt werden.
jetzt habe ich g:= [mm] x^{2}+2 [/mm] und h:= [mm] x^{2}+5
[/mm]
wenn auch schwer, kann ich nachvollziehen, dass die nullstellen von g x und -x sind.
wie komme ich jetzt aber darauf, dass die nullstellen von h 3x und -3x sind?
und wieso ist [mm] 9x^{2}+5=9(x^{2}+2)?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Vicky89 |
oh, ich kann es mir jetzt selber beantworten.
danke ;)
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