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Forum "Regelungstechnik" - Linearisierung
Linearisierung < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Linearisierung: Asymptotische Stabilität
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:54 Sa 30.01.2016
Autor: Maxi94

Aufgabe
Die Bewegung eines Pendels unter geschwindigkeitsabhängiger Reibung kann als das folgende nicht-lineare System zweiter Ordnung

[mm] \dot{x}_1(t)=x_2(t) [/mm]
[mm] \dot{x}_2(t)=-c_1*x_2(t) [/mm] + u(t)

dargestellt werden. Dabei ist  x(t) [mm] \in \mathbb{R^2} [/mm] der Zustandsvektor, u(t) [mm] \in \mathbb{R} [/mm] ein skalarer Eingang und [mm] c_1, c_2 \ge [/mm] 0 sind reele Konstanten.


a) Ermitteln Sie die staionären Betriebspunkte [mm] (\tilde{x}, \tilde{u}) [/mm] = [mm] (\tilde{x},0) [/mm] im Bereich [mm] -\pi
b) Bestimmmen Sie das an einem beliebigen stationären Betriebspunkt [mm] (\tilde{x},\tilde{u}) [/mm] linearisierte System

[mm] \frac{d}{dt}\Deltax(t) [/mm] = [mm] A\Delta [/mm] x(t) + [mm] B\Delta [/mm] u(t)

bzgl. der Abweichung [mm] \Delta [/mm] x [mm] :=x-\tilde{x} [/mm] und [mm] \Delta [/mm] u := [mm] u-\tilde{u}. [/mm]

c) Unter welchen Bedingungen [mm] c_1, c_2 [/mm] sind die Betriebspunkte aus a) im linearsierten System [mm] (\Delta u\equiv0) [/mm] asymptotisch stabil?

d) Ist das am Betriebspunkt [mm] (\tilde{x}, [/mm] tilde{u}) = [mm] (\frac{\pi}{2}, [/mm] x2) linearisierte System für [mm] \Delta u\equiv0 [/mm] stabil bzw. asymptotisch stabil? (Fallunterscheidung)


Liebe Forengemeinde,
ich bin hier neu hier im Forum und würde mich freuen, wenn mir jemand bei einer Aufgabe in Regelungstechnik helfen könnte bzw. mal über meine Lösung schauen.

Meine Lösungsidee war folgende:

a)

stationärer Betriebspunkte -> Zeitableitungen = 0 ?

0 = [mm] \tilde{x_2} [/mm]

0 = [mm] -c_1\tilde{x}_2(t)-c_2sin(\tilde{x}_1) [/mm] + [mm] \tilde{u} [/mm]

-> [mm] -c_2sin(\tilde{x}_1) [/mm] = 0  -> [mm] sin(\tilde{x}_1)=0 [/mm]

Betriebspunkt bei [mm] $\tilde{x_1} [/mm] = 0$ oder [mm] \tilde{x_1} [/mm] = [mm] \pi [/mm] , also (0,0,0) oder [mm] (\pi,0,0) [/mm] ?


b)
[mm] \Delta\dot{x}_1 [/mm] = [mm] \Delta x_2 [/mm]
[mm] $\Delta\dot{x}_2 [/mm] = [mm] -c_2cos(x_1)|_{x=\tilde{x}~u=\tilde{u}}\Delta x_1-c_1\Delta x_2 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] u$
   $= [mm] -c_2cos(\tilde{x})\Delta x_1-c_1\Delta x_2 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] u$

Bei c) weiß ich leider nicht so genau weiter. Wir hatten zwar die Lyapunov Stabilität erwähnt, aber noch nie wirklich angewendet. Gibt es eine andere Möglichkeit das zu überprüfen?


d) -


Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

LG Maxi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearisierung: Konstanten?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Mo 01.02.2016
Autor: Infinit

Hallo Maxi94,
zunächst einmal herzlich willkommen hier im Forum.
Ich versuche als Nachrichtentechniker Deine Rechnungen zur Regelungstechnik nachzuvollziehen. Bevor ich da aber in falsche Richtungen denke, möchte ich Dich bitten, doch noch mal das Gleichungssystem aus der Aufgabe zu prüfen. Du sprichst von zwei Konstanten, c1 und c2, c2 wird aber nirgendwo genannt. Ansonsten würde ich sagen, ist Deine Überlegung zur ersten Teilaufgabe richtig. In einem stationären Punkt beträgt die Ableitung nach der Zeit gerade Null. Dann komme ich aber, siehe oben, mit Deiner Lösung nicht so ganz weiter. Irgendwo fehlt wahrscheinlich was.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Linearisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 07.02.2016
Autor: Maxi94

Hallo Infinit,
ich hatte leider die Gleichungen falsch aufgeschrieben, entschuldige.

[mm] $\dot{x_2}=-c_1x_2(t)-c_2sin(x_1(t))+u(t)$ [/mm] wäre die richtige Version gewesen.

Ich hatte mir dann das System in Matrixschreibweise aufstellt

mit [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -c_2cos(\tilde{x}) & -c1 } [/mm]

Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms konnte ich direkt ablesen mit $ [mm] \lambda^2+ c1*\lambda+c_2cos(\tilde{x})$. [/mm]
Für die asymptotische Stabilität habe ich überprüft, wann es sich um ein Hurwitz-Polynom handelt.  

Für den ersten Betriebspunkt bei (0,0,0) wäre asymptotische Stabilität bei [mm] c_1>0 [/mm] und [mm] c_2>0 [/mm] gegeben und bei [mm] $(\pi,0,0) [/mm] für [mm] c_1>0 [/mm] und [mm] c_2<0. [/mm]

Bei der Aufgabe d) habe ich dann den Betriebspunkt eingesetzt
und bekam.

[mm] \tilde{A}=\pmat{ 0 & 1 \\ -c_2cos({\frac{\pi}{2}}) & -c1 }=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -c1 } [/mm]

Das charakteristische Polynom würde lauten [mm] \lambda^2+c_1\lambda [/mm]

und hätte Nullstellen (Eigenwerte) bei [mm] -\frac{c_1}{2}\pm \frac{c_1}{2} [/mm]

Also bei [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=-c_1 [/mm]

Asymptotische Stabilität könnte wohl nicht erreicht werden, weil ein Eigenwert nicht in [mm] \IC^- [/mm] liegt, aber sofern [mm] c_1>0, [/mm] wäre es stabil oder? Die geometrische Vielfachheit wäre bei dem Eigenwert bei 0 ja dann der geometrische Vielfachheit und das Stabilitätskriterium für "stabil" erfüllt.

Das waren so meine Gedanken, vielleicht kannst du mir ja deine Meinung dazu mitteilen. :-)


Vielen Dank im Voraus!


Bezug
                        
Bezug
Linearisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Mo 08.02.2016
Autor: Infinit

Hallo Maxi94,
jetzt sieht die Sache schon anders aus und ich kann keine Fehler in Deinen Überlegungen und Rechnungen erkennen. Für die asymptotische Stabilität müsste man in der linken komplexen Halbebene liegen, ein Eigenwert liegt ja aber bei Null. Aus der Regelungstechnik kenne ich dafür noch den Ausdruck "grenzstabil".
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Linearisierung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 07.02.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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