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| Aufgabe | Sei eine Abb. wie folgt gegeben: [mm] K=\IR, [/mm] f: V->W, f(x,y):=(logx,logy)
Zeigen Sie, dass die Abb. linear ist. |
Hallo, ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe formal korrekt aufschreibe. ich fange mal an, wie ich es machen würde.
(L1)
[mm] f((x_1,y_1)) [/mm] = [mm] f(x_1,y_2) [/mm] + [mm] f(x_2,y_2)
[/mm]
= (log [mm] x_1, [/mm] log [mm] y_1) [/mm] + (log [mm] x_2, [/mm] log [mm] y_2)
[/mm]
= (log [mm] x_1, [/mm] log [mm] x_2) [/mm] + (log [mm] y_1, [/mm] log [mm] y_2)
[/mm]
wo und weiter weiß ich nicht, ist bestimmt auch so nicht richtig oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
wie sind denn hier $V$ und $W$ definiert? wenn $V = [mm] \mathbb{R}^2$, [/mm] dann wäre die abbildung ja gar nicht überall definiert. ist $V = [mm] \mathbb{R}_+^2$, [/mm] wobei $ [mm] \mathbb{R}_+ [/mm] = [mm] \{x \in \mathbb{R}: x > 0\}$? [/mm] und wie sind dann die addition und die skalarmultiplikation definiert?
um dann zu zeigen, dass es sich um eine lineare abbildung, kannst du zuerst die "additivität" prüfen. also [mm] $f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] = [mm] f((x_1, y_1)) [/mm] + [mm] f((x_2, y_2))$, [/mm] wobei hier "$+$" jeweils die addition in dem entsprechenden vektorraum bezeichnet. fange einfach mal mit der linken seite an und schaue, wie weit du dann kommst... du kannst ja deine rechnung nochmals hier einstellen.
grüße
andreas
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Ohh, das hatte ich vergessen. also [mm] V=\mathbb{R}_+ [/mm] = [mm] \{x \in \mathbb{R}: x > 0\} [/mm] , das was du auch geschrieben hattest, aber bei uns in der Aufgabe steht nichts von V = [mm] \mathbb{R}_+^2 [/mm] .
Definiert sind die sachen wie folgt, ich galub aber, das ist das gleiche, was du auch geschrieben hast.
[mm] (x_1 [/mm] , [mm] y_1) [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] , [mm] y_2) [/mm] := [mm] (x_1 x_2 [/mm] , [mm] y_1 y_2) [/mm] und
[mm] \lambda [/mm] (x,y) := [mm] (x^{\lambda} [/mm] , [mm] y^{\lambda})
[/mm]
das problem ist ja jetzt, ich weiß nicht, wie man es richtig aufschreibt bzw. rechnet.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke schon, dass $V = [mm] \mathbb{R}_+^2$ [/mm] sein muss - du hast doch auch bei der definition der addition und der multiplikation zwei komponenten, also zwei einträge aus [mm] $\mathbb{R}_+$!
[/mm]
um mal einen anfang zu machen:
[mm] $f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] = [mm] f((x_1x_2, y_1y_2)) [/mm] = [mm] (\log (x_1x_2), \log (y_1y_2)) [/mm] = ... $
kannst du die beiden gleichheitszeichen begründen? was kann man nun machen? fallen dir rechenrgelen für den logarithmus ein, mit denen man hier vielleicht weiterkommen könnte?
grüße
andreas
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also kann falsch sein, wie ich jetzt weiter mache.
[mm] f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] = [mm] f((x_1x_2, y_1y_2)) [/mm] = [mm] (\log (x_1x_2), \log (y_1y_2)) [/mm] = [mm] f((\log (x_1x_2)) [/mm] + [mm] f(\log (y_1y_2))
[/mm]
und das ist = [mm] f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] richtig so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also kann falsch sein, wie ich jetzt weiter mache.
>
> [mm]f((x_1, y_1)[/mm] + [mm](x_2, y_2))[/mm] = [mm]f((x_1x_2, y_1y_2))[/mm] = [mm](\log (x_1x_2), \log (y_1y_2))[/mm]
> = [mm]f((\log (x_1x_2))[/mm] + [mm]f(\log (y_1y_2))[/mm]
ja, das ist falsch. wie kommst du darauf? verstehst du die ersten beiden von mir angegeben gleichheitszeichen beziehungsweise, wie würdest du sie begründen?
beantworte dann noch die frage: welche logarithmusrechenregeln kennst du?
> und das ist = [mm]f((x_1, y_1)[/mm] + [mm](x_2, y_2))[/mm] richtig so??
dann hättest du dich aber im kreis gedreht, denn genau damit hast du angefangen...
grüße
andreas
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hmmmm, deine ersten beiden = würde ich mit der Linearität begründen, das ist ja eigentlich nur die def. angewendet oder? obwohl ich mit anwenden von def. noch ziemlich große probleme habe.
und log-regel. also wenn ich mich nicht irre, kenne ich 3.
vielleicht müsste ich es so schreiben.
[mm] f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] = [mm] f((x_1x_2, y_1y_2)) [/mm] = [mm] (\log (x_1x_2), \log (y_1y_2)) [/mm] = [mm] (\log (x_1) [/mm] + [mm] \log (x_2), \log (y_1) [/mm] + [mm] \log (y_2)) [/mm] = [mm] (\log (x_1) [/mm] + [mm] \log (y_1), \log (x_2) [/mm] + [mm] \log (y_2)) [/mm]
darf man einfach verstauschen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> hmmmm, deine ersten beiden = würde ich mit der Linearität
> begründen,
die linearität will man ja gerade erst zeigen, also darf man die hier nicht verwenden. es wurden aber tatsächlich einfach zwei definitionen angewandt und zwar die für ... und für ...
> vielleicht müsste ich es so schreiben.
>
> [mm]f((x_1, y_1)[/mm] + [mm](x_2, y_2))[/mm] = [mm]f((x_1x_2, y_1y_2))[/mm] = [mm](\log (x_1x_2), \log (y_1y_2))[/mm]
> = [mm](\log (x_1)[/mm] + [mm]\log (x_2), \log (y_1)[/mm] + [mm]\log (y_2))[/mm]
bis hier sehr gut! hier hast du genau die logarithmus-regel angewendet, die du hier brauchst.
> [mm](\log (x_1)[/mm] + [mm]\log (y_1), \log (x_2)[/mm] + [mm]\log (y_2))[/mm]
>
> darf man einfach verstauschen?
mir ist völlig unklar, was du hier machst. man darf natürlich die komponenten der beiden vektoren nicht wild durcheinandertauchen. es ist ja auch im [mm] $\mathbb{R}^2$: $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \not= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$.
[/mm]
aber überlege dir, wo du hinwillst, du willst doch zeigen, dass [mm] $f((x_1, y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2)) [/mm] = [mm] f((x_1, y_1)) [/mm] + [mm] f((x_2, y_2))$. [/mm] mit der linken seite hast du angefangen und etwas umgeformt und willst so zur rechten seite kommen. schreibe dir doch mal die rechte seite für dieses spezielle $f$ explizit auf und überlege dir, ob du nicht schon kurz vor dem ziel stehst, wenn du dir überlegst, wie die addition in $W$ definiert ist?
grüße
andreas
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ne tut mir leid, ich habe gerde ein brett vorm kopf und kriege für die geschichte kein passendes ende. komme da irgendwie nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
Wende hier folgende Definition der Addition in $W_$ an mit:
[mm] $$\vektor{a_1\\b_1}+\vektor{a_2\\b_2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{a_1+a_2\\b_1+b_2}$$
[/mm]
Damit bist du nämlich so gut wie fertig, wenn Du das auf Dein bisheriges Zwischenergebnis von $... \ = \ [mm] \vektor{\log(x_1)+\log(x_2)\\\log(y_1)+\log(y_2)}$ [/mm] anwendest.
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal, die Aufgabe müssen wir doch jetzt zusammen mal hinkriegen, darf doch nicht so schwierig sein.
erstmal nochmal eine allgemeine frage, denn ich auch auch noch bisschen schwierigkeiten mit der vektorschreibweise hier an der uni.
also in der schule war es ja so, dass wenn wir z.B. den vektor v=(1,2,3) hatten, dass er dann in spalten schreibweise so aussah.
v= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, [/mm] so jetzt hier an der uni ist diese schreibweise nicht mehr üblich, sodass ich da auch schon sehr oft durcheinander kommen. ich frage jetzt mal zwei sachen, ob die dann so auch richtig wären.
z.b. hatten wir ja bei dieser aufgabe mal eine zeile die war so:
[mm] (\log(x_1, x_2), \log(y_1, y_2)) [/mm] oder wir hatten auch:
[mm] (\log(x_1) [/mm] + [mm] \log(x_2), \log(y_1) [/mm] + [mm] \log(y_2)) [/mm] so wenn ich diese beiden vektoren jetzt mal als spaltenvektoren aufschreiben würde, so wie es in der schule üblich ist, ist das dann so richtig?
Z= [mm] \vektor{\log(x_1, x_2) \\ \log(y_1, y_2)}
[/mm]
w= [mm] \vektor{\log(x_1) + \log(x_2) \\ \log(y_1) + \log(y_2)} [/mm]
erstmal bitte dies hier, dann können wir über die aufgabe weiter reden, aber dieses kram muss ich ja erstmal jetzt richtig verstanden haben.
gruß
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ach ja, und was ich vergessen habe.
den zweiten vektor, könnte ich den dann auch aufteilen in zwei spaltenvektoren? also so:
w= [mm] \vektor{\log(x_1) + \log(x_2) \\ \log(y_1) + \log(y_2)}
[/mm]
w= [mm] \vektor{\log(x_1) \\ \log(y_1)} [/mm] + [mm] \vektor{\log(x_2) \\ \log(y_2)}
[/mm]
wäre das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jaruleking!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !! Und damit bist Du für diese Eigenschaft schon so gut wie fertig.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jaruleking!
So ganz klar ist mir nicht, was du mit dem $Z_$ bzw. $W_$ davor meinst.
Aber ja: so kann man das in Spaltenschreibweise darstellen.
Gruß
Loddar
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Hi.
das mit z, w das war halt nur, dass ich die Vektoren beliebig benannt habe, so dass die da nicht so ohne namen rum stehen 
also bin ich doch jetzt mit der ersten bedingung schon fertig oder? denn
[mm] \vektor{\log(x_1) \\ \log(y_1)} [/mm] + [mm] \vektor{\log(x_2) \\ \log(y_2)}
[/mm]
= [mm] f((x_1, y_1)) [/mm] + [mm] f((x_2, y_2)) [/mm] was ja auch zu zeigen galt, oder fehlt da jetzt noch was?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
Das war's für diese Eigenschaft der Linearität. Auf zur nächsten ... 
Gruß
Loddar
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ok, ich versuche jetzt mal die zweite bedingung auch hinzukriegen.
es ist ja folgendes definiert: [mm] \lambda (x,y):=(x^{\lambda}, y^{\lambda})
[/mm]
für die Aufgabe muss ja jetzt zeigen, dass:
[mm] f(\lambda(x,y))=\lambda*f(x,y)
[/mm]
[mm] f(\lambda(x,y))=(\lambda*(\log(x),\log(y))) [/mm] nach den Log. regel, könnte man [mm] \lambda [/mm] in exponenten stellen, so dass:
[mm] f(\lambda(x,y))=(\lambda (\log(x),\log(y))) [/mm]
[mm] =(\log(x^{\lambda}), \log(y^{\lambda})) [/mm] das wäre ja auch das hier oder:
[mm] =\vektor{ \log(x^\lambda) \\ \log(y^\lambda)}
[/mm]
[mm] =\lambda*\vektor{ \log(x) \\ \log(y)}
[/mm]
[mm] =\lambda*f(x,y)
[/mm]
habe ich das jetzt so richtig gemacht, denn ich wäre jetzt so fertig.
aber ich bezweifel selber, ob das richtig ist.
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> es ist ja folgendes definiert: [mm]\lambda (x,y):=(x^{\lambda}, y^{\lambda})[/mm]
>
> für die Aufgabe muss ja jetzt zeigen, dass:
>
> [mm]f(\lambda(x,y))=\lambda*f(x,y)[/mm]
Hallo,
genau.
Was Du im Folgenden tust, enthält allerlei Richtiges, allerdings wirkt es so, als wäre es einmal kurz im Shaker gewesen, und ich bin mir nicht sicher, ob Du wirklich weißt, was Du tust.
Ich werde es Dir weiter unten richtig aufschreiben.
Ich finde übrigens, daß es ein Act ist, überhaupt erstmal die vollständige Aufgabenstellung zu finden, und möglicherweise rührt sogar ein Teil Deiner Probleme daher.
Ich bin mir nämlich nicht ganz sicher, ob es Dir inzwischen klargeworden ist, daß Du es bei V und W mit zwei grundverschiedenen Vektorräumen zu tun hast:
Wir haben nunächst einmal den VR [mm] V:=R_{+}^{2} [/mm] über [mm] \IR [/mm] mit den Verknüpfungen
[mm] \oplus: [/mm] V x V [mm] \to [/mm] V
[mm] \vektor{x_1 \\ y_1}\oplus\vektor{x_2 \\ y_2}:=\vektor{x_1x_2 \\ y_1y_2}
[/mm]
und
[mm] \odot:\IR [/mm] x V [mm] \to [/mm] V
[mm] \lambda \odot \vektor{x \\ y}:=\vektor{x^{\lambda} \\ y^{\lambda}}.
[/mm]
Der Raum, in welchen f abbildet, ist derW:= [mm] \IR^2 [/mm] über [mm] \IR [/mm] zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation, ich bezeichne sie mit + und [mm] \*.
[/mm]
Zwischen diesen beiden Räumen ist nun eine Abbildung f definiert durch [mm] f\vektor{x \\ y}:=\vektor{lnx \\ lny}, [/mm] deren Linearität nachzuweisen ist.
Hierfür war zunächst zu zeigen
[mm] f(\vektor{x_1 \\ y_1}\oplus\vektor{x_2 \\ y_2})=f(\vektor{x_1 \\ y_1})+f(\vektor{x_2 \\ y_2}),
[/mm]
das ist bereits geschehen.
Zu zeigen ist nun, daß [mm] f(\lambda\odot(x,y))=\lambda\*f(x,y),
[/mm]
und bevor Dir nicht klar ist, warum hier und in der ersten Linearitätsbedingung welches Zeichen steht, brauchst Du damit gar nicht zu beginnen.
Wenn Dir das klargeworden ist, kannst Du weiterlesen, Du wirst dort manches wiederfinden, was Du ähnlich zuvor auch dastehen hattest.
Beachte bitte die kleinen Begründungen und gewöhne Dir diese auch an.
Erstens wollen Deine Korrektoren die sehen, zweitens ist es eine Hilfe für einen selbst, weil man erkennt, welchen Sachverhalten man nochmal auf den Grund gehen muß.
Es ist
[mm] f(\lambda\odot(x,y))=f(\vektor{x^{\lambda} \\ y^{\lambda}}) [/mm] (nach Def. v. [mm] \odot)
[/mm]
[mm] =\vektor{ln(x^{\lambda}) \\ ln(y^{\lambda})} [/mm] (nach Def. v. f)
[mm] =\vektor{\lambda ln(x) \\\lambda ln(y)} [/mm] (Rechnen mit Logarithmen)
[mm] =\lambda\*\vektor{ln(x) \\ln(y)} [/mm] (nach Def. von [mm] \* [/mm] )
[mm] =\lambda\* f\vektor{x \\ y} [/mm] (nach Def. v. f)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Fr 28.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
Boah Angela, das war echt hammer super erklärt, echt nett, dass du dir die zeit dafür genommen hast, echt.
und auch allen anderen danke, die mir dabei geholfen haben, bisschen licht in meine mathestruktur zu bringen. Super Forum hier!!!
gruß
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