Linearität, Sur-/Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Argumentiere für die Abbildung T : $ [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $, ob sie injektiv, sujektiv und linear ist.
$ [mm] T(a_1, a_2) [/mm] = [mm] (a_1, a_2 [/mm] + [mm] a_1^7) [/mm] $ |
Hallo :)
Man muss bei dieser Abbildung also schauen, ob sie surjektiv, injektiv und linear ist oder nicht.
Bei der Linearität bin ich so vorgegangen: Man hat zwei Vektoren $ [mm] \vektor{a_1\\1_2} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{b_1\\b_2} \in \IR^2 [/mm] $. Die Summe der Transformationen der beiden Vektoren an sich ergibt dann:
$ [mm] T\vektor{a_1\\a_2} [/mm] + [mm] T\vektor{b_1\\b_2} [/mm] = [mm] \vektor{a_1\\a_2+a_1^7} [/mm] + [mm] \vektor{b_1\\b_2+b_2^7} [/mm] = [mm] \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2+a_1^7+b_1^7)} [/mm] $
Die Transformation der Summe der beiden Vektoren ist:
$ [mm] T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} [/mm] = [mm] \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7} [/mm] $,
woraus folgt, dass
$ [mm] T\vektor{a_1\\a_2} [/mm] + [mm] T\vektor{b_1\\b_2} \not= T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} [/mm] $
Hiermit müsste also bewiesen sein, dass die Abbildung nicht linear ist.
Für die Injektivität muss ich schauen, ob der Kern der Abbildung nur den Nullvektor enthält. Also $ Ker(T) = 0 $. Aus der Definition des Kerns folgt, dass
$ [mm] T(a_1, a_2) [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $,
wobei $ [mm] a_1, a_2 \in \IR^2 [/mm] $. Das heißt, dass der Vektor, der aus der Transformation resultiert, gleich dem Nullvektor sein muss:
$ [mm] (a_1, a_2+a_1^7) [/mm] = (0,0) $
Hieraus kann man folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen:
$ [mm] a_1 [/mm] + [mm] 0a_2 [/mm] = 0 $
$ [mm] a_1^7+a_2 [/mm] = 0 $
Hieraus sieht man direkt, dass $ [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = 0 $.
Der Kern von T enthält also nur den Nullvektor, woraus die Injektivität der Abbildung folgt.
Bei der Surjektivität tu ich mich am schwersten. Ich denke, dass es einen Vektor $ (p,q) $ geben muss, der das Bild von $ [mm] (a_1, a_2) [/mm] $ sein muss, also
$ p := [mm] a_1 [/mm] $ und
$ q := [mm] a_2+a_1^7 [/mm] $
bzw.
$ [mm] a_1 [/mm] := p $
$ [mm] a_2 [/mm] := [mm] q-a_1^7 [/mm] $.
Hiermit müsste ich eigentlich gezeigt haben, dass es für jeden Vektor in der "Zielmenge" einen Vektor in der "Anfangsmenge" gibt, der ihn abbildet.
Meine Frage ist jetzt, ob meine Argumentationen gültig und schlüssig sind oder ob ich was übersehen habe.
Danke schon mal im Voraus :)
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Hiho,
> [mm]T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} = \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7} [/mm]
Hier hast du eine Klammer vergessen.
> woraus folgt, dass
>
> [mm]T\vektor{a_1\\a_2} + T\vektor{b_1\\b_2} \not= T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}[/mm]
Wieso folgt das? Ich behaupte jetzt mal, dass die Gleichheit trotzdem stimmt. Wie widerlegst du mich?
Ich könnte ja auch behaupten: Man sieht leicht, dass [mm] (a+b)^2 \not= a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2$ [/mm] ist, steht ja links was anderes als rechts.
Aber hoffentlich wissen wir beide, dass dem nicht so ist 
> Hieraus kann man folgendes lineares Gleichungssystem
> aufstellen:
>
> [mm]a_1 + 0a_2 = 0[/mm]
> [mm]a_1^7+a_2 = 0[/mm]
>
> Hieraus sieht man direkt, dass [mm]a_1 = a_2 = 0 [/mm].
Sieht man das direkt?
Ein Zwischenschritt wäre schon schick und bei der ersten Gleichung kannst du dir das [mm] 0a_2 [/mm] sparen, da steht also:
[mm] a_1 [/mm] = 0
[mm] a_1^7 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 0
Dann sieht man es wirklich schöner
> Der Kern von T enthält also nur den Nullvektor, woraus die Injektivität der Abbildung folgt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei der Surjektivität tu ich mich am schwersten. Ich
> denke, dass es einen Vektor [mm](p,q)[/mm] geben muss, der das Bild
> von [mm](a_1, a_2)[/mm] sein muss, also
>
> [mm]p := a_1[/mm] und
> [mm]q := a_2+a_1^7[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]a_1 := p[/mm]
> [mm]a_2 := q-a_1^7 [/mm].
>
Es ist eigentlich schlecht bei der Definition deines "Urbilds" noch dein Urbild zu verwenden (du tust das bei [mm] a_2 [/mm] mit [mm] a_1). [/mm]
Schöner wäre hier noch ein zusätzlicher Schritt:
[mm]a_1 := p[/mm]
[mm]a_2 := q-p^7 [/mm].
> Hiermit müsste ich eigentlich gezeigt haben, dass es für jeden Vektor in der "Zielmenge" einen Vektor in der "Anfangsmenge" gibt, der ihn abbildet.
Ja, du musst noch rein formal begründen, warum dein so definierter Vektor wirklich in deiner Definitionsmenge liegt.
Bei [mm] \IR^2 [/mm] ist das jetzt zwar nicht so wild, sollte deine Urbildmenge aber mal eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] sein bspw. müsste man noch zeigen, dass dein konstruierter Vektor Element davon ist.
Und: Besonders gut ist immer eine kleine Probe, zeige also doch einfach mal, dass [mm] $T\left(\vektor{p \\ q-p^7}\right) [/mm] = [mm] \vektor{p \\ q}$ [/mm] indem du [mm] $T\left(\vektor{p \\ q-p^7}\right)$ [/mm] berechnest.
> Meine Frage ist jetzt, ob meine Argumentationen gültig und
> schlüssig sind oder ob ich was übersehen habe.
Also im Großen und Ganzen sieht das schon super aus 
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
>
> > [mm]T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} = \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7}[/mm]
>
> Hier hast du eine Klammer vergessen.
Meinst du die Klammer für die erste Zeile, also
$ [mm] T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} [/mm] = [mm] \vektor{(a_1+b_1)\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7} [/mm] $
oder übersehe ich einfach immer noch was?
>
> > woraus folgt, dass
> >
> > [mm]T\vektor{a_1\\a_2} + T\vektor{b_1\\b_2} \not= T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}[/mm]
>
> Wieso folgt das? Ich behaupte jetzt mal, dass die
> Gleichheit trotzdem stimmt. Wie widerlegst du mich?
>
> Ich könnte ja auch behaupten: Man sieht leicht, dass
> [mm](a+b)^2 \not= a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2$[/mm] ist, steht ja links was
> anderes als rechts.
>
> Aber hoffentlich wissen wir beide, dass dem nicht so ist
>
Ja, klar, nur $ [mm] (x+y)^7 [/mm] $ ist ja nicht [mm] $x^7+y^7$, [/mm] genauso wenig wie [mm] $(x+y)^2$ [/mm] nicht [mm] $x^2+y^2$ [/mm] ist, sondern ausmultipliziert [mm] $x^2+2xy+y^2$. [/mm] Selbiges gilt dann für [mm] $(x+y)^7$, [/mm] nur mit mehr Termen.
>
> > Hieraus kann man folgendes lineares Gleichungssystem
> > aufstellen:
> >
> > [mm]a_1 + 0a_2 = 0[/mm]
> > [mm]a_1^7+a_2 = 0[/mm]
> >
> > Hieraus sieht man direkt, dass [mm]a_1 = a_2 = 0 [/mm].
>
> Sieht man das direkt?
> Ein Zwischenschritt wäre schon schick und bei der ersten
> Gleichung kannst du dir das [mm]0a_2[/mm] sparen, da steht also:
>
> [mm]a_1[/mm] = 0
> [mm]a_1^7[/mm] + [mm]a_2[/mm] = 0
>
> Dann sieht man es wirklich schöner
Ja, die Null hätte ich auch weggelassen, aber ich wollte, dass das Gleichungssystem schön symmetrisch ist :P Gibt es eine Möglichkeit, manuell Leerzeichen einzugeben, ohne dass Latex sie direkt löscht?
>
> > Der Kern von T enthält also nur den Nullvektor, woraus die
> Injektivität der Abbildung folgt.
>
>
>
> >
> > Bei der Surjektivität tu ich mich am schwersten. Ich
> > denke, dass es einen Vektor [mm](p,q)[/mm] geben muss, der das Bild
> > von [mm](a_1, a_2)[/mm] sein muss, also
> >
> > [mm]p := a_1[/mm] und
> > [mm]q := a_2+a_1^7[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]a_1 := p[/mm]
> > [mm]a_2 := q-a_1^7 [/mm].
> >
>
> Es ist eigentlich schlecht bei der Definition deines
> "Urbilds" noch dein Urbild zu verwenden (du tust das bei
> [mm]a_2[/mm] mit [mm]a_1).[/mm]
> Schöner wäre hier noch ein zusätzlicher Schritt:
>
> [mm]a_1 := p[/mm]
> [mm]a_2 := q-p^7 [/mm].
>
Ok, sehe ich ein.
> > Hiermit müsste ich eigentlich gezeigt haben, dass es für
> jeden Vektor in der "Zielmenge" einen Vektor in der
> "Anfangsmenge" gibt, der ihn abbildet.
>
> Ja, du musst noch rein formal begründen, warum dein so
> definierter Vektor wirklich in deiner Definitionsmenge
> liegt.
> Bei [mm]\IR^2[/mm] ist das jetzt zwar nicht so wild, sollte deine
> Urbildmenge aber mal eine Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] sein bspw.
> müsste man noch zeigen, dass dein konstruierter Vektor
> Element davon ist.
Wie mache ich das? Geht das, indem ich das, was du hierunter vorschlägst, tue?
>
> Und: Besonders gut ist immer eine kleine Probe, zeige also
> doch einfach mal, dass [mm]T\left(\vektor{p \\ q-p^7}\right) = \vektor{p \\ q}[/mm]
> indem du [mm]T\left(\vektor{p \\ q-p^7}\right)[/mm] berechnest.
>
>
$ [mm] T\vektor{p\\q-p^7} [/mm] = [mm] \vektor{p\\(q-p^7)+p^7} [/mm] = [mm] \vektor{p\\q} [/mm] $
So also?
> > Meine Frage ist jetzt, ob meine Argumentationen gültig und
> > schlüssig sind oder ob ich was übersehen habe.
>
> Also im Großen und Ganzen sieht das schon super aus
>
> Gruß,
> Gono.
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Hiho,
> oder übersehe ich einfach immer noch was?
Nein, ich hatte mich verlesen, war schon von Anfang an ok
> Ja, klar, nur [mm](x+y)^7[/mm] ist ja nicht [mm]x^7+y^7[/mm], genauso wenig wie [mm](x+y)^2[/mm] nicht [mm]x^2+y^2[/mm] ist, sondern ausmultipliziert [mm]x^2+2xy+y^2[/mm]. Selbiges gilt dann für [mm](x+y)^7[/mm], nur mit mehr Termen.
Das hätte man hin schreiben können, aber worauf ich hinaus wollte ist folgendes: Du kannst die Nicht-Linearität immer auch direkt an einem Gegenbeispiel zeigen. Das ist meist einfacher als die Ungleichung zweier Seiten mit Variablen zu zeigen, denn manchmal kann es durch geschicktes Umformen eben doch sein, dass zwei Seiten, die ungleich aussehen, dann doch gleich sind
Beispielsweise sieht man sofort: [mm] $T\left(\vektor{2\\2}\right) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 135} \not= \vektor{2\\4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{1\\2} [/mm] = [mm] T\left(\vektor{1 \\ 1}\right) [/mm] + [mm] T\left(\vektor{1 \\ 1}\right)$
[/mm]
> Ja, die Null hätte ich auch weggelassen, aber ich wollte, dass das Gleichungssystem schön symmetrisch ist :P Gibt es eine Möglichkeit, manuell Leerzeichen einzugeben, ohne dass Latex sie direkt löscht?
Ja, mit den Möglichkeiten solltest du dich vertraut machen. LaTeX brauchst du, sofern du einen mathematischen Studiengang hast, sowieso immer wieder und für alle Arbeiten. Es gibt sogar Möglichkeiten Gleichungssysteme gleich schön zu schreiben
> Wie mache ich das? Geht das, indem ich das, was du hierunter vorschlägst, tue?
Nein. In diesem Fall musst du gar nicht machen, weil ein zwei Komponenten Vektor [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] ja immer Element des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Das hättest du nur machen müssen, wenn du bspw. durch p oder q teilst (denn die könnten ja auch Null sein) oder du eine Ursprungsmenge hast, die eingeschränkt ist.
> [mm]T\vektor{p\\q-p^7} = \vektor{p\\(q-p^7)+p^7} = \vektor{p\\q}[/mm]
>
> So also?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:30 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Gono,
> Hiho,
>
> > [mm]T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} = \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7}[/mm]
>
> Hier hast du eine Klammer vergessen.
>
> > woraus folgt, dass
> >
> > [mm]T\vektor{a_1\\a_2} + T\vektor{b_1\\b_2} \not= T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}[/mm]
>
> Wieso folgt das? Ich behaupte jetzt mal, dass die
> Gleichheit trotzdem stimmt. Wie widerlegst du mich?
>
> Ich könnte ja auch behaupten: Man sieht leicht, dass
> [mm](a+b)^2 \not= a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2$[/mm] ist, steht ja links was
> anderes als rechts.
>
> Aber hoffentlich wissen wir beide, dass dem nicht so ist
>
>
> > Hieraus kann man folgendes lineares Gleichungssystem
> > aufstellen:
> >
> > [mm]a_1 + 0a_2 = 0[/mm]
> > [mm]a_1^7+a_2 = 0[/mm]
> >
> > Hieraus sieht man direkt, dass [mm]a_1 = a_2 = 0 [/mm].
>
> Sieht man das direkt?
> Ein Zwischenschritt wäre schon schick und bei der ersten
> Gleichung kannst du dir das [mm]0a_2[/mm] sparen, da steht also:
>
> [mm]a_1[/mm] = 0
> [mm]a_1^7[/mm] + [mm]a_2[/mm] = 0
>
> Dann sieht man es wirklich schöner
>
> > Der Kern von T enthält also nur den Nullvektor, woraus die
> Injektivität der Abbildung folgt.
>
>
[mm] $T\,$ [/mm] ist NICHT linear.
Gruß,
Marcel
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Hiho,
das weiß ich, ich habe auch nie etwas gegenteiliges behauptet
Siehe meiner zweiten Antwort, es ging nur um die fehlende Begründung
Gruß,
Gono
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Hiho,
> Man sollte vielleicht nicht sagen, dass das Argument okay ist.
beim Schreiben einer Erwiderung darauf wurde mir klar, was du meinst ^^
Nur bei linearen Abbildungen ist der Schluss valide. Got it...
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Argumentiere für die Abbildung T : [mm]\IR^2 \to \IR^2 [/mm], ob
> sie injektiv, sujektiv und linear ist.
>
> [mm]T(a_1, a_2) = (a_1, a_2 + a_1^7)[/mm]
>
> Hallo :)
>
> Man muss bei dieser Abbildung also schauen, ob sie
> surjektiv, injektiv und linear ist oder nicht.
>
> Bei der Linearität bin ich so vorgegangen: Man hat zwei
> Vektoren [mm]\vektor{a_1\\1_2}[/mm] und [mm]\vektor{b_1\\b_2} \in \IR^2 [/mm].
> Die Summe der Transformationen der beiden Vektoren an sich
> ergibt dann:
>
> [mm]T\vektor{a_1\\a_2} + T\vektor{b_1\\b_2} = \vektor{a_1\\a_2+a_1^7} + \vektor{b_1\\b_2+b_2^7} = \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2+a_1^7+b_1^7)}[/mm]
>
> Die Transformation der Summe der beiden Vektoren ist:
>
> [mm]T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} = \vektor{a_1+b_1\\(a_2+b_2)+(a_1+b_1)^7} [/mm],
>
> woraus folgt, dass
>
> [mm]T\vektor{a_1\\a_2} + T\vektor{b_1\\b_2} \not= T\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}[/mm]
>
> Hiermit müsste also bewiesen sein, dass die Abbildung
> nicht linear ist.
Du hältst hier fest, dass die Abbildung NICHT linear ist (wobei ja schon
gesagt wurde, dass das ausführlicher zu machen ist und ihr habt das
wohl schon ergänzt)
> Für die Injektivität muss ich schauen, ob der Kern der
> Abbildung nur den Nullvektor enthält. Also [mm]Ker(T) = 0 [/mm].
Und willst jetzt den Satz anwenden:
"Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern
der Nullraum ist".
Geht das wirklich? ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Argumentiere für die Abbildung T : [mm]\red{\IR^2} \to\blue{\IR^2} [/mm], ob
> sie injektiv, sujektiv und linear ist.
>
> [mm]T(a_1, a_2) = (a_1, a_2 + a_1^7)[/mm]
die Abbildug ist etwa wegen
[mm] $T(2,0)=(2,0+2^7) \not=(1,1)+(1,1)=T(1,0)+T(1,0)$
[/mm]
nicht linear.
Sie ist injektiv (da sie nicht linear ist, kann man aber nicht mit dem Kern
argumentieren):
Sei (für [mm] $(a_1,a_2), (b_1,b_2) \in \red{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}$)
[/mm]
[mm] $T(a_1,a_2)=T(b_1,b_2)\,,$
[/mm]
dann folgt
[mm] $(a_1,a_2+a_1^7)=(b_1,b_2+b_1^7)$
[/mm]
und damit
[mm] $a_1=b_1$ [/mm] und [mm] $a_2+a_1^7=b_2+b_1^7\,.$
[/mm]
Du musst mit diesen beiden Gleichungen nur noch [mm] $a_2=b_2$ [/mm] zeigen, das
bekommst Du hin!
Zur Surjektivität:
Zu prüfen ist, ob für alle $(p,q) [mm] \in \blue{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}$ [/mm] gilt, dass $(a,b) [mm] \in \red{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}$ [/mm] existieren mit
[mm] $T(a,b)=(p,q)\,.$
[/mm]
Also
[mm] $(a,b+a^7)=(p,q)\,.$
[/mm]
Also das äquivalente GLS
[mm] $a=p\,$ [/mm] und [mm] $b+a^7=q\,,$
[/mm]
wobei [mm] $p,q\,$ [/mm] FEST sind.
Damit ist [mm] $a:=p\,$ [/mm] klar. Es ist also nur noch die Frage, ob
[mm] $b+a^7=q\,$
[/mm]
dann (mindestens) eine Lösung in [mm] $b\,$ [/mm] hat. Und wenn man da [mm] $a=p\,$ [/mm] einsetzt,
sieht man, dass es genau eine Lösung gibt.
P.S. Das wichtigere, was ich eigentlich noch sagen wollte: Nehmen wir
an, Du hast irgendwo
[mm] $a^2+b^2=(a+b)^2$
[/mm]
gesehen und sagst, dass das nicht stimmen kann (etwa, wenn Du die
Nichtlinearität einer Abbildung nachweisen willst).
Wenn ich diese Gleichung aber in [mm] $\IF_2$ [/mm] stehen habe, ist sie durchaus
korrekt:
[mm] $(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+b^2$
[/mm]
gilt nämlich für alle $a,b [mm] \in \IF_2=\{^2{\overline{0}},{^2{\overline{1}}}\}\,.$
[/mm]
(Denn es ist $ab [mm] \in \IF_2$ [/mm] und für alle $x [mm] \in \IF_2$ [/mm] ist [mm] $x+x={^2\overline{0}}$:
[/mm]
[mm] ${^2{\overline{0}}}+{^2{\overline{0}}}={^2{\overline{0}}}$
[/mm]
und
[mm] ${^2{\overline{1}}}+{^2{\overline{1}}}={^2{\overline{0}}}$.)
[/mm]
Deswegen: Wenn die Aussage "für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt: ..." falsch ist, dann ist das nichts
anderes als die Aussage "es gibt ein [mm] $x_0$ [/mm] für das nicht gilt: ...".
Als Du behauptest hast, dass Dir die "falsche Gleichung"
[mm] $a_1+a_2+a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)^7$
[/mm]
zeigt, dass die Abbildung nicht linear ist, würde ich durchaus auch sagen,
dass das Argument zielführend ist. Du könntest sogar weitergehen:
[mm] $a_1+a_2+a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)^7$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)^7$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a_1^7+a_2^7=\sum_{k=0}^7 [/mm] {7 [mm] \choose k}a_1^ka_2^{7-k}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $0=\sum_{k=1}^6 [/mm] {7 [mm] \choose k}a_1^ka_2^{7-k}$
[/mm]
schreiben. Denn dann brauchst Du nur noch zu zeigen, dass Du mit
gewissen [mm] $a_1,a_2$ [/mm] die letzte Gleichheit verletzen kannst (die genaue
logische Argumentation überlasse ich dann Dir).
Was ich damit sagen will: Solche Überlegungen, wie Du sie angefangen
hast, sind durchaus konstruktiv in dem Sinne, als dass man, wenn man
sie weiterrechnet, vielleicht *schnelle Wege zum Finden eines Gegenbeispiels*
mit ihnen kreieren kann.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Argumentiere für die Abbildung T : [mm]\red{\IR^2} \to\blue{\IR^2} [/mm],
> ob
> > sie injektiv, sujektiv und linear ist.
> >
> > [mm]T(a_1, a_2) = (a_1, a_2 + a_1^7)[/mm]
>
> die Abbildug ist etwa wegen
>
> [mm]T(2,0)=(2,0+2^7) \not=(1,1)+(1,1)=T(1,0)+T(1,0)[/mm]
>
> nicht linear.
>
> Sie ist injektiv (da sie nicht linear ist, kann man aber
> nicht mit dem Kern
> argumentieren):
Ja, hast recht. War mir in dem Moment entgangen :)
> Sei (für [mm](a_1,a_2), (b_1,b_2) \in \red{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}[/mm])
>
> [mm]T(a_1,a_2)=T(b_1,b_2)\,,[/mm]
>
> dann folgt
>
> [mm](a_1,a_2+a_1^7)=(b_1,b_2+b_1^7)[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]a_1=b_1[/mm] und [mm]a_2+a_1^7=b_2+b_1^7\,.[/mm]
>
> Du musst mit diesen beiden Gleichungen nur noch [mm]a_2=b_2[/mm]
> zeigen, das
> bekommst Du hin!
Zur Kontrolle:
$ [mm] a_1=b_1 [/mm] $
$ [mm] a_2+a_1^7=b_2+b_1^7 \Rightarrow a_2+a_1^7=b_2+a_1^7 \Rightarrow a_2=b_2 [/mm] $
>
> Zur Surjektivität:
> Zu prüfen ist, ob für alle [mm](p,q) \in \blue{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}[/mm]
> gilt, dass [mm](a,b) \in \red{\IR^2}=\IR^{1 \times 2}[/mm]
> existieren mit
>
> [mm]T(a,b)=(p,q)\,.[/mm]
>
> Also
>
> [mm](a,b+a^7)=(p,q)\,.[/mm]
>
> Also das äquivalente GLS
>
> [mm]a=p\,[/mm] und [mm]b+a^7=q\,,[/mm]
>
> wobei [mm]p,q\,[/mm] FEST sind.
>
> Damit ist [mm]a:=p\,[/mm] klar. Es ist also nur noch die Frage, ob
>
> [mm]b+a^7=q\,[/mm]
>
> dann (mindestens) eine Lösung in [mm]b\,[/mm] hat. Und wenn man da
> [mm]a=p\,[/mm] einsetzt,
> sieht man, dass es genau eine Lösung gibt.
>
> P.S. Das wichtigere, was ich eigentlich noch sagen wollte:
> Nehmen wir
> an, Du hast irgendwo
>
> [mm]a^2+b^2=(a+b)^2[/mm]
>
> gesehen und sagst, dass das nicht stimmen kann (etwa, wenn
> Du die
> Nichtlinearität einer Abbildung nachweisen willst).
> Wenn ich diese Gleichung aber in [mm]\IF_2[/mm] stehen habe, ist
> sie durchaus
> korrekt:
>
> [mm](a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+b^2[/mm]
>
> gilt nämlich für alle [mm]a,b \in \IF_2=\{^2{\overline{0}},{^2{\overline{1}}}\}\,.[/mm]
>
> (Denn es ist [mm]ab \in \IF_2[/mm] und für alle [mm]x \in \IF_2[/mm] ist
> [mm]x+x={^2\overline{0}}[/mm]:
>
> [mm]{^2{\overline{0}}}+{^2{\overline{0}}}={^2{\overline{0}}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]{^2{\overline{1}}}+{^2{\overline{1}}}={^2{\overline{0}}}[/mm].)
>
> Deswegen: Wenn die Aussage "für alle [mm]x\,[/mm] gilt: ..." falsch
> ist, dann ist das nichts
> anderes als die Aussage "es gibt ein [mm]x_0[/mm] für das nicht
> gilt: ...".
>
> Als Du behauptest hast, dass Dir die "falsche Gleichung"
>
> [mm]a_1+a_2+a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)^7[/mm]
>
> zeigt, dass die Abbildung nicht linear ist, würde ich
> durchaus auch sagen,
> dass das Argument zielführend ist. Du könntest sogar
> weitergehen:
>
> [mm]a_1+a_2+a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)^7[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)^7[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]a_1^7+a_2^7=\sum_{k=0}^7 a_1^k+a_2^{7-k}[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]0=\sum_{k=1}^6 a_1^ka_2^{7-k}[/mm]
>
> schreiben. Denn dann brauchst Du nur noch zu zeigen, dass
> Du mit
> gewissen [mm]a_1,a_2[/mm] die letzte Gleichheit verletzen kannst
> (die genaue
> logische Argumentation überlasse ich dann Dir).
>
> Was ich damit sagen will: Solche Überlegungen, wie Du sie
> angefangen
> hast, sind durchaus konstruktiv in dem Sinne, als dass
> man, wenn man
> sie weiterrechnet, vielleicht *schnelle Wege zum Finden
> eines Gegenbeispiels*
> mit ihnen kreieren kann.
>
Müsste ich denn jetzt für diese konkrete Aufgabe zeigen, dass $ [mm] x^7+y^7 \not= (x+y)^7 [/mm] $? Oder ist das in diesem Fall überflüssig? Es ist aber gut zu wissen, dass die Mathematik, die man in der Schule lernt, nicht das einzig Wahre ist... Was leider nicht selbstverständlich ist^^
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 27.09.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Zur Kontrolle:
>
> [mm]a_1=b_1[/mm]
> [mm]a_2+a_1^7=b_2+b_1^7 \Rightarrow a_2+a_1^7=b_2+a_1^7 \Rightarrow a_2=b_2[/mm]
>
Genau.
> >
> >
>
> Müsste ich denn jetzt für diese konkrete Aufgabe zeigen,
> dass [mm]x^7+y^7 \not= (x+y)^7 [/mm]? Oder ist das in diesem Fall
> überflüssig? Es ist aber gut zu wissen, dass die
Die Definition der Additivitaet von $T$ ist:
Fuer alle [mm] $x,y\in [/mm] V$ gilt $T(x+y)= Tx+Ty$.
Nun vermutest Du, dass $T$ nicht additiv ist, also die Negation richtig ist, welche lautet:
Es gibt [mm] $x,y\in [/mm] V$, fuer die gilt [mm] $T(x+y)\neq [/mm] Tx+ Ty$.
Bei solchen Uebungsaufgaben wie Deiner ist es wohl fast immer moeglich ein Gegenbeispiel (zur nichtnegierten Behauptung) konkret anzugeben. Ein Beispiel, welches die Negation beweist, erhaelst Du durch Probieren oder Intuition, indem Du fuer zwei Werte $x$ und $y$ die linke und echte Seite auswertest und vergleichst.
> Mathematik, die man in der Schule lernt, nicht das einzig
> Wahre ist... Was leider nicht selbstverständlich ist^^
>
> > Gruß,
> > Marcel
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> >
> > Zur Kontrolle:
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> > [mm]a_1=b_1[/mm]
> > [mm]a_2+a_1^7=b_2+b_1^7 \Rightarrow a_2+a_1^7=b_2+a_1^7 \Rightarrow a_2=b_2[/mm]
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> Genau.
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> > >
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> > >
> >
> > Müsste ich denn jetzt für diese konkrete Aufgabe zeigen,
> > dass [mm]x^7+y^7 \not= (x+y)^7 [/mm]? Oder ist das in diesem Fall
> > überflüssig? Es ist aber gut zu wissen, dass die
> Die Definition der Additivitaet von [mm]T[/mm] ist:
> Fuer alle [mm]x,y\in V[/mm] gilt [mm]T(x+y)= Tx+Ty[/mm].
>
> Nun vermutest Du, dass [mm]T[/mm] nicht additiv ist, also die
> Negation richtig ist, welche lautet:
> Es gibt [mm]x,y\in V[/mm], fuer die gilt [mm]T(x+y)\neq Tx+ Ty[/mm].
>
> Bei solchen Uebungsaufgaben wie Deiner ist es wohl fast
> immer moeglich ein Gegenbeispiel (zur nichtnegierten
> Behauptung) konkret anzugeben. Ein Beispiel, welches die
> Negation beweist, erhaelst Du durch Probieren oder
> Intuition, indem Du fuer zwei Werte [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] die linke und
> echte Seite auswertest und vergleichst.
Gut zu wissen :) Könnte ich hier also z.B. sagen
[mm] $(2^7+2^7) \not= (2+2)^7 [/mm] $, weil
$ 256 [mm] \not= [/mm] 16384 $?
Das wäre ja ein konkretes Gegenbeispiel.
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> > Mathematik, die man in der Schule lernt, nicht das einzig
> > Wahre ist... Was leider nicht selbstverständlich ist^^
> >
> > > Gruß,
> > > Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > >
> > > Zur Kontrolle:
> > >
> > > [mm]a_1=b_1[/mm]
> > > [mm]a_2+a_1^7=b_2+b_1^7 \Rightarrow a_2+a_1^7=b_2+a_1^7 \Rightarrow a_2=b_2[/mm]
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> > Genau.
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> > > Müsste ich denn jetzt für diese konkrete Aufgabe zeigen,
> > > dass [mm]x^7+y^7 \not= (x+y)^7 [/mm]? Oder ist das in diesem Fall
> > > überflüssig? Es ist aber gut zu wissen, dass die
> > Die Definition der Additivitaet von [mm]T[/mm] ist:
> > Fuer alle [mm]x,y\in V[/mm] gilt [mm]T(x+y)= Tx+Ty[/mm].
> >
> > Nun vermutest Du, dass [mm]T[/mm] nicht additiv ist, also die
> > Negation richtig ist, welche lautet:
> > Es gibt [mm]x,y\in V[/mm], fuer die gilt [mm]T(x+y)\neq Tx+ Ty[/mm].
> >
> > Bei solchen Uebungsaufgaben wie Deiner ist es wohl fast
> > immer moeglich ein Gegenbeispiel (zur nichtnegierten
> > Behauptung) konkret anzugeben. Ein Beispiel, welches die
> > Negation beweist, erhaelst Du durch Probieren oder
> > Intuition, indem Du fuer zwei Werte [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] die linke und
> > echte Seite auswertest und vergleichst.
>
> Gut zu wissen :) Könnte ich hier also z.B. sagen
>
> [mm](2^7+2^7) \not= (2+2)^7 [/mm], weil
> [mm]256 \not= 16384 [/mm]?
warum Du mit so großen Zahlen rechnen willst, weiß ich nicht. Aber dann
würde ich es noch einfacher handhaben:
[mm] $2^7+2^7=2*2^7=2^8\,,$
[/mm]
aber
[mm] $(2+2)^7=(2*2)^7=2^7*2^7=2^{14}\,.$
[/mm]
Und das [mm] $2^8 \not=2^14$ [/mm] ist, ist klar - man kann es auch formal noch
schnell beweisen (aber das geht schneller, wenn man es NICHT konkret
ausrechnet).
> Das wäre ja ein konkretes Gegenbeispiel.
Da musst Du Dich in der Sprache schon genauer fassen, was "das" ist und
für "was" "das" ein Gegenbeispiel ist.
Nochmal zurück zu dem, was ich sagen wollte:
Wenn [mm] $T\,$ [/mm] linear wäre, dann habe ich nachgerechnet, dass dann
notwendig für alle [mm] $(a_1,a_2) \in \red{\IR^2}$
[/mm]
[mm] $0=\sum_{k=1}^6 [/mm] {7 [mm] \choose k}a_1^ka_2^{7-k}$ [/mm]
folgen würde. (Da hatte ich vorhin übrigens teilweise totalen Quatsch
stehen - ich hatte den Binomialkoeff. vergessen und mich auch einmal
vertippt und damit ein + anstatt einer Multiplikation stehen. Bitte auf
sowas achten und ggf. intervenieren; jetzt habe ich's korrigiert!)
Das folgt aus der Rechnung
> $ [mm] a_1+a_2+a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)+(a_1+a_2)^7 [/mm] $
> $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] a_1^7+a_2^7=(a_1+a_2)^7 [/mm] $
> $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] a_1^7+a_2^7=\sum_{k=0}^7 [/mm] {7 [mm] \choose k}a_1^ka_2^{7-k} [/mm] $
> $ [mm] \iff [/mm] $ $ [mm] 0=\sum_{k=1}^6 [/mm] {7 [mm] \choose k}a_1^ka_2^{7-k} [/mm] $
indem Du die [mm] $\Longrightarrow$-Pfeile [/mm] benutzt. Du siehst damit: Mit
[mm] $a_1=0$ [/mm] oder [mm] $a_2=0$ [/mm] kannst Du kein Gegenbeispiel angeben. Aber
[mm] $a_1=1=a_2$ [/mm] wäre doch schon geeignet...
> >
> > > Mathematik, die man in der Schule lernt, nicht das einzig
> > > Wahre ist... Was leider nicht selbstverständlich ist^^
In der Schule werden manche Sachen vorausgesetzt, ohne, dass sie
explizit benannt werden. Die Lehrer wissen da meist mehr, als sie sagen
oder sagen wollen.
Zum Beispiel ist offensichtlich jede Abbildung
[mm] $\IN \to \IC$
[/mm]
stetig, denn [mm] $\IN$ [/mm] besteht nur aus isolierten Punkten (welche Metrik ich
hier meine, ist sicher klar).
Ein Lehrer erzählt dennoch in der Schule, dass man
"Die Stetigkeit einer Funktion daran erkennen kann, ob man den Stift
beim Zeichnen (des Graphen) der Funktion absetzen muss oder nicht.
Muss man dies nicht (nie), dann ist die Funktion stetig."
Ich habe aber Probleme damit, den Graphen einer Funktion [mm] $\IN \to \IC$ [/mm] zu zeichnen,
ohne den Stift abzusetzen. Und dennoch ist solch' eine Funktion stetig.
Hier gehen die Lehrer meist davon aus, dass sie eh nur Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] oder
$I [mm] \to \IR$ [/mm] für ein Intervall $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] betrachten...
Und es ist nun halt weder [mm] $\IN=\IR$ [/mm] noch ist [mm] $\IN$ [/mm] ein Intervall (aus [mm] $\IR$)...
[/mm]
Noch spannender wird allerdings:
Wie kann man etwa den Graphen der Indikatorfunktion [mm] $\mathds{1}_{\IQ} \colon \IR \to \{0,1\}$
[/mm]
zeichnen?
Oder wie argumentiere ich bei der Funktion
$f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x*\mathds{1}_{\IQ}(x)$
[/mm]
*zeichnerisch*, dass dieses Ding stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist? (Wobei natürlich die obige
Aussage eh nicht für einzelne Stellen so bzw. ähnlich überhaupt formuliert
wird. Das muss ich der Schulmathematik mal zugute halten... . Aber ich kann
mir dennoch vorstellen, dass der ein oder andere Lehrer solch' eine Frage
an seine Schüler/-innen stellt.)
Gruß,
Marcel
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