Linearität in der ersten ... < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie die Linearität der ersten Komponente [mm] <\lambda v,w>=\lambda, \lambda\in\IR
[/mm]
Mit [mm] =\bruch{1}{4}(||v+w||^2-||v-w||^2). [/mm] |
Das ist meine Aufgabe, ich bin schon so weit, dass ich rausbekommen habe, dass ich mit Induktion für [mm] \IN \ge [/mm] 2 anfangen muss, da 0 und 1 einfach sind.
Jetzt habe ich Probleme mit der Induktion und weiß nicht wie ich anfangen soll....
für [mm] \IZ,\IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] habe ich schon Ideen, aber wenn der Anfang fehlt, brauche ich nicht weitermachen.
Das ist dann doch meine Definition vom Skalarprodukt oder ?!
[mm] :=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{4}(||v_{i}+w_{i}||^2-||v_{i}-w_{i}||^2)
[/mm]
IA: Und ab hier wird es Peinlich -.-
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{4}(||\lambda v+w||^2-||\lambda v-w||^2)...
[/mm]
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo BerlinerKindl,
> Zeigen Sie die Linearität der ersten Komponente [mm]<\lambda v,w>=\lambda, \lambda\in\IR[/mm]
Aus deinen Ausführungen weiter unten schließe ich, dass [mm]v,w\in\mathbb R^n[/mm] sein sollen. Richtig?
> Mit [mm]=\bruch{1}{4}(||v+w||^2-||v-w||^2).[/mm]
> Das ist meine Aufgabe, ich bin schon so weit, dass ich
> rausbekommen habe, dass ich mit Induktion für [mm]\IN \ge[/mm] 2
> anfangen muss, da 0 und 1 einfach sind.
> Jetzt habe ich Probleme mit der Induktion und weiß nicht
> wie ich anfangen soll....
Das musst du nicht... Du kannst es auch direkt zeigen.
> für [mm]\IZ,\IQ[/mm] und [mm]\IR[/mm] habe ich schon Ideen, aber wenn der
> Anfang fehlt, brauche ich nicht weitermachen.
>
> Das ist dann doch meine Definition vom Skalarprodukt oder
> ?!
>
> [mm]:=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{4}(||v_{i}+w_{i}||^2-||v_{i}-w_{i}||^2)[/mm]
Nein, für [mm]x\in\mathbb R^n[/mm] ist [mm]\|x\|:=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots +x_{n-1}^2+x_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}[/mm] und entsprechend [mm]\|x\|^2=\sum_{i=1}^n x_i^2[/mm]
Also, gilt für dein Skalarprodukt:
[mm] \langle v,w\rangle=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^n \left(v_i+w_i)^2-(v_i-w_i)^2\right)\right)[/mm]
> IA: Und ab hier wird es Peinlich -.-
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{4}(||\lambda v+w||^2-||\lambda v-w||^2)...[/mm]
>
> MfG
Wie gesagt, lass die Induktion mal bleiben...
Rechne zunächst mal [mm]\langle v,w\rangle[/mm] aus (also den obigen Term vereinfachen).
Danach berechnest du [mm]\langle \lambda v,w\rangle[/mm] und vergleichst mit [mm]\langle v,w\rangle[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke :),
ich habe beides ausrechnet und <v,w>=vw und [mm] <\lambda [/mm] v,w>= [mm] \lambda [/mm] vw, wenn er richtig ist....
wie kann ich jetzt darauf schließen, dass [mm] <\lambda v,w>=\lambda [/mm] ist ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Danke :),
> ich habe beides ausrechnet und [mm]=vw[/mm] und [mm]<\lambda[/mm] v,w>=
> [mm]\lambda[/mm] vw, wenn er richtig ist....
> wie kann ich jetzt darauf schließen, dass [mm]<\lambda v,w>=\lambda[/mm]
> ist ??
das stimmt leider nicht. Zumindest nicht ganz... Aus deinen zwei Zeilen kann ich leider nicht rauslesen, was du gerechnet hast, bzw. was mit [mm]\langle v,w\rangle =vw[/mm] gemeint ist. Als Korrektor würde ich dir keine Punkte geben, als "Helfer" vermute ich mal, dass du mit [mm]vw[/mm] das Standardskalarprodukt meinst. Wenn dem so ist, solltest du das hinschreiben! Oder noch viel besser: schreib deine Rechnung hier rein!
Es ist doch
[mm]\langle v,w\rangle =\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^n\left((v_i+w_i)^2-(v_i-w_i)^2\right)\right)=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^n\left(v_i^2+2v_iw_i+w_i^2-v_i^2+2v_iw_i-w_i^2\right)\right)=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n 4v_iw_i=\sum_{i=1}^n v_iw_i[/mm]
Jetzt berechne analog [mm]\langle \lambda v,w\rangle[/mm] und vergleiche mit [mm]\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^n v_iw_i[/mm].
(Schön wäre ja, wenn [mm]\langle \lambda v,w\rangle=\lambda*\sum_{i=1}^nv_iw_i=\lambda\langle v,w\rangle[/mm] rauskommt - also versuch es auf diese Form zu bringen.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Mir kommt da grade noch eine Idee...
In meinem letzten Post steht ja der Beweis, dass das gegebene Skalarprodukt dem Standardskalarprodukt entspricht.
Wenn du schon weißt, dass das Standardskalarprodukt linear in der ersten Komponente ist, bist du hier schon fertig.
Lieben Gruß,
Fulla
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mit <v,w> ist ja bei mir aus der Aufgabenstellung was anderes definiert als das standard Skalarprodukt. Müsste dann, um das zu zeigen, was ich brauche, nicht auch wieder was mit [mm] \bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{n}(||v+w||^2-||v-w||^2) [/mm] rauskommen ??
Die Rechnungen habe ich so wie du. Nur kommt mir irgendwie komisch einfach vor. Wenn es so ist.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
> mit <v,w> ist ja bei mir aus der Aufgabenstellung was
> anderes definiert als das standard Skalarprodukt. Müsste
Deswegen hab ich an der Stelle ja auch nachgehakt 
> dann, um das zu zeigen, was ich brauche, nicht auch wieder
> was mit [mm]\bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{n}(||v+w||^2-||v-w||^2)[/mm]
> rauskommen ??
Mach aus den Betragsstrichen Klammern, oder lass die Summe weg - dann ja.
Wenn du willst kannst du auch Folgendes zeigen:
[mm]\langle \lambda v,w\rangle=\frac{1}{4}\left(\|\lambda v+w\|^2-\|\lambda v-w\|^2\right)=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^n(\lambda v_i+w_i)^2-\sum_{i=1}^n(\lambda v_i-w_i)^2\right)=\ldots =\lambda*\frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^n(v_i+w_i)^2-\sum_{i=1}^n(v_i-w_i)^2\right)=\lambda*\langle v,w\rangle[/mm]
<v,w>
> Die Rechnungen habe ich so wie du. Nur kommt mir irgendwie
> komisch einfach vor. Wenn es so ist.
> LG
Der Einfachheit halber habe ich auch vorgeschlagen, erstmal [mm]\langle v,w\rangle[/mm] auszurechnen und dann damit zu vergleichen.
Anschaulich zeigst du auf diese Weise: Es gilt [mm]\langle v,w\rangle = \text{irgendwas}[/mm] und [mm]\langle\lambda v,w\rangle=\lambda*\text{irgendwas}[/mm]. Daraus folgt dann </v,w></v,w>[mm]\langle\lambda v,w\rangle=\lambda*\text{irgendwas}=\lambda* \langle v,w\rangle[/mm].
Ich finde das anschaulicher/einfacher/übersichtlicher als die lange Rechnung oben mit den "[mm]\ldots[/mm]"
Lieben Gruß,
Fulla
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