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Hallo,
Folgende Aufgabe (von mir etwas verkürzt - also ohne konkrete Zahlenwerte) macht mir momentan Probleme. Ist meine Idee richtig?
Aufgabe:
Gegeben sind fünf Vektoren [mm] x_{1},...,x_{5} [/mm] aus [mm] \IR^{4}, [/mm] deren Koordinaten teilweise von einem Faktor a [mm] \in \IR [/mm] abhängen. Zusätzlich ist noch ein Vektor y [mm] \in \IR^{4} [/mm] gegeben. Ich soll nun alle a bestimmen, für die sich y als Linearkombination von [mm] x_{1},...,x_{5} [/mm] darstellen lässt und zusätzlich soll ich noch alle Linearkombinationen angeben.
Idee:
Ich muss ja folgendes LGS aufstellen:
b * [mm] x_{1} [/mm] + c * [mm] x_{2} [/mm] + d * [mm] x_{3} [/mm] + e * [mm] x_{4} [/mm] + f * [mm] x_{5} [/mm] = y
Dass nun Linearkombinationen existieren muss dieses LGS lösbar sein. Dies ist es, falls der Rang von b * [mm] x_{1} [/mm] + c * [mm] x_{2} [/mm] + d * [mm] x_{3} [/mm] + e * [mm] x_{4} [/mm] + f * [mm] x_{5} [/mm] gleich dem Rang von b * [mm] x_{1} [/mm] + c * [mm] x_{2} [/mm] + d * [mm] x_{3} [/mm] + e * [mm] x_{4} [/mm] + f * [mm] x_{5} [/mm] erweitert mit y ist.
Richtig? Zur Bestimmung des Rangs muss ich ja lediglich meine Koeffizientenmatrix in Stufenform bringen und dann kann ich a entsprechend wählen.
Führt das ans Ziel?
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Hallo,
es sind natürlich Mißverständnisse nicht ganz auszuschließen, wenn ich Dich aber richtig verstehe, funktioniert es so, wie Du es planst.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank.
Ich habe das jetzt mal soweit gerechnet und mit einem CAS überprüft.
Meine Matrix b * [mm] x_{1} [/mm] + c * [mm] x_{2} [/mm] + d * [mm] x_{3} [/mm] + e * [mm] x_{4} [/mm] + f * [mm] x_{5} [/mm] sieht in der Zeilenstufenform so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & a+1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & -a & a }
[/mm]
Der Vektor y war ja auch gegeben: y := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 }^{T}
[/mm]
Nun bin ich ein wenig fraglos. Ich will ja jetzt den Rang der Matrix einmal ohne y und einmal mit y berechnen bzw. a so wählen, dass die Ränge gleich sind. Aus Wikipedia: "Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix."
y hat den Rang 1. Meine Matrix in Zeilenstufenform hat den Rang 4, falls a ungleich 0. Also ist die einzige Einschränkung an a, dass a ungleich 0 sein muss?
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Hallo,
Du hast also bei folgender Matrix Rangbetrachtungen durchzuführen:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & | 1\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1& | 0\\ 0 & 0 & a+1 & 1 & a & | 0\\ 0 & 0 & 0 & -a & a & | 0}[/mm]
> Meine Matrix in Zeilenstufenform hat den
> Rang 4, falls a ungleich 0. Also ist die einzige
> Einschränkung an a, dass a ungleich 0 sein muss?
Nein.
Schau Dir Deine Matrix genau an: was alles könnte Dir Rang=4 verderben?
Eines hast Du schon herausgefunden, a=0.
Aber auch für a=-1 ist der [mm] Rang\not=4.
[/mm]
Der Vektor y macht Dir sehr wenig Scherereien, denn da nur der erste Eintrag v. 0 verschieden ist, kann er hier keinen Einfluß auf den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix nehmen.
Gruß v. Angela
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Danke erstmal. Nun einige Fragen:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & | 1\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1& | 0\\ 0 & 0 & a+1 & 1 & a & | 0\\ 0 & 0 & 0 & -a & a & | 0} [/mm] $
Zeilenrang: Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind. Richtig? Wenn ich mir die Matrix von oben anschaue, dann wird ja der letzte Zeilenvektor 0, falls a = 0 ist. Dann wäre also der Zeilenrang 3.
Wie kommst du da auf den Rang 4?
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> Danke erstmal. Nun einige Fragen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & | 1\\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1& | 0\\ 0 & 0 & a+1 & 1 & a & | 0\\ 0 & 0 & 0 & -a & a & | 0}[/mm]
>
> Zeilenrang: Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind.
Der Zeilenrang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen,
welches bei einer Matrix, die korrekt auf Zeilenstufenform gebracht wurde, tatsächlich die Anzahl der Zeilen, die keine Nullzeilen sind, ist.
> Wenn ich mir die Matrix von oben anschaue, dann
> wird ja der letzte Zeilenvektor 0, falls a = 0 ist. Dann
> wäre also der Zeilenrang 3.
Ja,
> Wie kommst du da auf den Rang 4?
???
Ich habe doch gar nicht gesagt, daß für a=0 der Rang der Matrix =4 ist.(?)
Ich habe bestätigt, daß u.a. (!) für a=0 der Rang der Matrix [mm] \not=4 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Di 01.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Du hast geschrieben:
"Schau Dir Deine Matrix genau an: was alles könnte Dir Rang=4 verderben?"
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> Du hast geschrieben:
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> "Schau Dir Deine Matrix genau an: was alles könnte Dir
> Rang=4 verderben?"
Eben...
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich habe mir jetzt die komplette Aufgabe nochmals angeschaut. Muss ich eigentlich wenn ich meine Matrix, die sich aus den Vektoren [mm] x_1 [/mm] bist [mm] x_5 [/mm] ergibt in Treppenform bringe die selben Operationen, die ich dafür benötige auch auf die erweiterte Matrix anwenden? Das muss ich wohl. Dann kommt leider auch ein anderer Vektor y raus.
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> ich habe mir jetzt die komplette Aufgabe nochmals
> angeschaut. Muss ich eigentlich wenn ich meine Matrix, die
> sich aus den Vektoren [mm]x_1[/mm] bist [mm]x_5[/mm] ergibt in Treppenform
> bringe die selben Operationen, die ich dafür benötige auch
> auf die erweiterte Matrix anwenden? Das muss ich wohl.
Ja, unbedingt!
Gruß v. Angela
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