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Wie kann ich zeigen das ein Vektor x durch zwei Vektoren a1 und a2 erzeugt werden?
z.b.
x sei (0,1), a1 sei (1,-1) und a2(1,1)
gruss j
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo tonymontana120979,
willkommen im MatheRaum! 
> Wie kann ich zeigen das ein Vektor x durch zwei Vektoren a1
> und a2 erzeugt werden?
>
> z.b.
>
> x sei (0,1), a1 sei (1,-1) und a2(1,1)
Indem man zeigt, dass [mm] \vec{x} [/mm] als eine Linearkombination der beiden Vektoren [mm] \vec{a_1}, \vec{a_2} [/mm] dargestellt werden kann, formal also so:
[mm] $\vec [/mm] x = [mm] r*\vec{a_1}+s*\vec{a_2}$
[/mm]
Dort setzt du nun die Komponenten ein
$ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = r* [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
und stellst die zugehörigen Komponentengleichungen auf
0 = r + s
1 = -r+s
Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsweg du wahrscheinlich kennst (Additionsverfahren? Gauß-Algorithmus?)
Es ergibt sich [mm] $r=-\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $s=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Für das Ausgangsproblem bedeutet das nun, dass
[mm] $\vec [/mm] x = [mm] -\bruch{1}{2}*\vec{a_1}+\bruch{1}{2}*\vec{a_2}$
[/mm]
dass also [mm] \vec{x} [/mm] eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist.
Eine alternative Sprechweise ist wohl auch, dass [mm] \vec{x} [/mm] von den beiden Vektoren erzeugt wird, obwohl ist erzeugen nur im Zusammenhang mit Vektorräumen kenne.
Bei weiteren Unklarheiten frag' einfach nach.
Viele Grüße,
Marc
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