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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 Di 08.08.2006 | | Autor: | Cyberleon |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Werte des Linienintegrals S(y dx + (x² + xy) dy)
längs zweier Verschiedener Wege zwischen C
den Punkten P1=(0,0) und P2=(2,4)
a) gerade Linie b) Kurve y=x²
Anmerkung: S -> Integralsymbol ( kA wo ich das einfügen kann)
C -> Steht unter Integralsymbol; die Integration soll längs
der Kurve C durchgeführt werden |
Dies ist mein erster Post auf dieser Seite,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst habe ich das gegebene Integral folgendermassen zerfleddert:
... = S( Fx(x,y)dx + Fy(x,y)dy)
C
a)
um anschliessend die Vektorform (richtige Bezeichnung? ) des Kraftfeldes folgendermassen darstellen zu können:
/ Fx(x,y) \ / y [mm] \
[/mm]
F(x,y) = | | = | |
\ Fy(x,y) / \ x²+xy /
Der Integrationsweg r(t) ergibt sich als folgender Vektor:
/ x(t) \ / 2t \ . / 2 \ .
r(t) =| | = | | abgeleitet nach t: r(t)= | | = r
\ y(t) / \ 4t / \ 4 /
1 . 1 |1
nun ist S F * r dt = S 8t + 48t² dt = 4t² + (48/3) t³ | = 20
0 0 |0
b) y = x²
aus y = x² folgt x=x(t) = t und y(t)=x²=t² , den Punkt (2,4) erreiche ich durch einsetzen von t=2, folglich lasse ich das integral von 0 bis 2 laufen:
/ t \ . / 1 [mm] \
[/mm]
r(t) = | | -> r = | |
\ t² / \ 2t /
F r´
2 / t² \ / 1 \ 2 |2
S | | . | | dt = S t² + 2t³ [mm] +2t^4| [/mm] = 23,46
0 \ t²+t³ / \ 2t / 0 |0
Soooo, nun habe ich den Mist erstmal so abgetippt wie ich ihn auf Papier verzapft habe, nun versuch ich mal mich durch die eben entdeckte Anleitung zur Eingabehilfe zu ackern ... Ich wette ohnehin dass meine backslashs meinen Text zerfetzen wie sonstwas ...
mfg, Leon
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Du, ich denke nicht, daß sich irgendwer die Mühe macht, das nachzuvollziehen.
Wenn du etwas Hilfe erwartest, solltest du dir auch die Mühe machen, das lesbar darzustellen.
Es ist ja schon lobenswert, daß du deine Lösung postest und nur einfach die Aufgabe postest, damit wir sie vorrechnen. Aber SO ist das leider eine Zumutung.
Das Setzen von Formeln ist nicht wirklich schwer und erfordert nur 5min Einarbeitungszeit. Diese 5min plus die Zeit, die du dann zum Schreiben brauchst, ist vermutlich nichtmal halb so lange, wie du gebraucht hast, um diesen kauderwelsch zu verzapfen.
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Werte des Linienintegrals
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] ( y dx + (x² +xy) dy [mm] )\, [/mm]
längs zweier Verschiedener Wege zwischen den Punkten P1=(0,0) und P2=(2,4)
a) gerade Linie b) Kurve y=x² |
Ok, soweit, so gut - alles was ich wissen möchte ist, ob ich richtig gerechnet habe. Denn leider existieren keine Lösungen oder Beispiele zu Linienintegralen in meinen Unterlagen, und den gesamten gestrigen Tag habe ich darauf verwendet, im Internet nach geeignetem Material zu suchen.
Dies ist mein zweiter Post auf dieser Seite, die Anleitung war einfacher als erwartet, ich bitte meine Inkompetenz in meinem ersten Post zu entschuldigen und wüsste gerne wo ich ihn loeschen kann :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst habe ich das gegebene Integral folgendermassen
zerfleddert:
[mm] \integral_{C}^{}Fx(x,y)dx+Fy(x,y)dy\, [/mm]
a)
um anschliessend die Vektorform (richtige Bezeichnung? ) des Kraftfeldes folgendermassen darstellen zu können extrahiere ich F(x,y) aus dem Integral:
F(x,y)= [mm] {(y)\choose(x²+xy)}
[/mm]
Der Integrationsweg r(t) ergibt sich als folgender Vektor:
[mm] r(t)={(x(t))\choose(y(t))}={(2t)\choose(4t)}
[/mm]
Die Ableitung nach der Zeit hieraus ist
r´= [mm] {(2)\choose(4)}
[/mm]
Nun wird das Integral über t mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 gebildet aus F * r´ wobei vorher in F x(t) und y(t) eingesetzt werden
[mm] F={(4t)\choose(4t²+8t²)}={(4t)\choose(12t²)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} {(4t)\choose(12t²)}.{(2)\choose(4)}\
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1} (8t+48t²)dt\
[/mm]
=4+48/3=20
b) y = x²
Aus y = x² folgt x=x(t) = t und y(t)=x²=t² ; den Punkt (2,4) erreiche ich durch Einsetzen von t=2, folglich lasse ich das Integral von 0 bis 2 laufen:
[mm] r(t)={(x(t))\choose(y(t))}={(t)\choose(t²)}
[/mm]
[mm] r´(t)={(1)\choose(2t)}
[/mm]
[mm] F={(t²)\choose(t²+t³)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2} {(t²)\choose(t²+t³)}.{(1)\choose(2t)}\
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2} (t²+2t³+2t^4)dt\
[/mm]
=1/3 t³ +2/4 [mm] t^4 [/mm] +2/5 [mm] t^5 [/mm] (mit t=2) - 0 = 23,4666
Meine Güte, das ständige hin-und-hergucken zwischen Tex-Formel und Post iss etwa 10 mal so zeitaufwendig wie bei meinem ersten post ... aber ich glaub nu kann man wenigstens was erkennen ... mfg, Leon
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Naja, nach einiger Zeit TeXen hat man es drauf und muß kaum noch nachgucken... Man darf aber auch nicht aus dem Konzept gebracht werden...
Nun, eigentlich brauchst du doch nur eine geeignete Parametrisierung, keine allgemeine. Mir scheint, du hast das etwas umständlich gelöst. Natürlich kannst du das gerne ganz allgemein durch einen Parameter lösen, das kannst du auch für Wege benutzen, die sich nicht als einfache Funktionen schreiben lassen
Ich finde es so aber ne ganze Ecke einfacher:
[mm] $\integral_C ydx+(x^2+xy)dy$
[/mm]
Im ersten Fall hast du eine Grade $C: \ [mm] y=2x,x\in[0;2]$ [/mm] und [mm] $\bruch{dy}{dx}=2\gdw [/mm] dy=2dx$
[mm] $\integral_0^2 2xdx+2(x^2+2x^2)dx=\integral_0^2 \left(6x^2+2x\right)dx$
[/mm]
Im zweiten Fall hast du eine Parabel: $C: \ [mm] y=x^2,x\in[0;2]$ [/mm] und [mm] $\bruch{dy}{dx}=2x\gdw [/mm] dy=2xdx=20$
[mm] $\integral_C x^2dx+2x(x^2+x^3)dx=\integral_C (x^2+2x^3+2x^4)dx=\bruch{352}{15}\approx [/mm] 23,46$
Da dies ein anderer Weg ist und die Zahlenwerte übereinstimmen, hast du wohl richtig gerechnet.
Damit ist dein Feld nicht konservativ.
Hast du dir mal das Vektorfeld plotten lassen? Es hat nen ziemlich fiesen Wirbel, jedenfalls alles andere als konservativ!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Cyberleon |
Wow, unglaublich, ich hab mal ne Aufgabe auf Anhieb richtig gerechnet ? :D
Vielen herzlichen Dank fuer die prompte Antwort - und vor allem fuer den schnelleren Loesungsweg ;)
Ich werde mal versuchen mich da reinzuarbeiten und die übrigen Aufgaben auf meiner Liste zu lösen (nur noch ca 200 ~ meine Matheklausur iss in einem Monat 8U )
mfg, Cyberleon :)
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