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Forum "Integrationstheorie" - Linksinvarianz bei Haarmaß
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Linksinvarianz bei Haarmaß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:46 Di 07.12.2010
Autor: wee

Aufgabe
Es seien [mm] \mathcal{B}(\mathcal{H}) [/mm] die beschränkten Operatoren auf einen endlichen Hilbertraum [mm] \mathcal{H}, A:\mathcal{B}(\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{B}(\mathcal{H}) [/mm] ein selbstadjungierter Operator, d.h. [mm] A(a^\ast)=A(a)^\ast. [/mm] Weiter bezeichne [mm] \mathcal{U} [/mm] die  Menge der unitären Elemente von [mm] \mathcal{B}(\mathcal{H}) [/mm] und [mm] \mu [/mm] das Haarmaß auf [mm] \mathcal{U}. [/mm]

Zeige: Für ein Element [mm] v\in\mathcal{U} [/mm] gilt [mm] \mathbb{E}_\mu(A(vu^\ast)u)=\mathbb{E}_\mu(A(u^\ast)uv). \mathbb{E}_\mu [/mm] bezeichnet den Erwartungswert bzgl. des Haarmaßes [mm] \mu. [/mm]



Hallo,

ich denke, um die Gleichung zu zeigen muss man benutzen, dass v und u unitär sind und das Haarmaß auf [mm] \mathcal{U} [/mm] unimodular (links- und rechtsinvariant) ist, denn [mm] \mathcal{U} [/mm] ist kompakt.

Mein Idee ist also, die Variablentransformation [mm] u\mapsto [/mm] uv zu betrachten. Dann ist wegen der Rechtsinvarianz [mm] \mathbb{E}_\mu(A(vu^\ast)u)=\mathbb{E}_\mu(A(v(uv)^\ast)uv=\mathbb{E}_\mu(A(vv^\ast u^\ast)uv)=\mathbb{E}_\mu(A(u^\ast)uv). [/mm]


Vielleicht kann hier jemand meine Lösung kurz prüfen. Da ich mich mit dem Haarmaß nämlich nicht gut auskenne, bin ich noch ein bisschen unsicher. Vielen Dank im voraus!


        
Bezug
Linksinvarianz bei Haarmaß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Do 09.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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