Linksinverse einer Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle linearen Linksinversen von [mm] C^{\sim} [/mm] wobei
C = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 } \in \IR^{4x3}. [/mm] |
Hallo,
habe schon das halbe Internet durchforstet aber nichts zu einer LinksInversen gefunden.
Normalerweise ist eine Matrix ja invertierbar wenn sie quadratisch ist. Die Linksinverse L ist dann laut Vorlesung so definiert, dass
L*C = E
wobei E die Einheitsmatrix ist. Die Matrizen haben dabei die Form:
L [mm] \in \IR^{m x n}
[/mm]
C [mm] \in \IR^{n x m}
[/mm]
E [mm] \in \IR^{m x m}
[/mm]
Gesucht ist also die jenige(n) Matrix/Matrizen L, die folgendes erfüllen:
[mm] \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h\\ i & j & k & l} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 &-1& -1 } [/mm] = [mm] \pmat{1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1}.
[/mm]
So weit, so gut.
Jetzt verstehe ich aber nicht wie ich das ganze umformen soll. Bei Quadratischen Gleichungen hätte man jetzt die Matrix C zu einer Einheitsmatrix umgeformt. Dabei wäre dann automatisch rechts vom gleichheitszeichen die Inverse entstanden.
Hier sehe ich aber aufgrund der unterschiedlichen Zeilen/Spaltenanzahl keine Möglichkeit einer Umformung, oder muss ich eine Matrix noch um eine Spalte / Zeile erweitern?
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie alle linearen Linksinversen von [mm]C^{\sim}[/mm]
> wobei
> C = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 } \in \IR^{4x3}.[/mm]
> Hallo,
> habe schon das halbe Internet durchforstet aber nichts zu
> einer LinksInversen gefunden.
>
> Normalerweise ist eine Matrix ja invertierbar wenn sie
> quadratisch ist. Die Linksinverse L ist dann laut Vorlesung
> so definiert, dass
>
> L*C = E
>
> wobei E die Einheitsmatrix ist. Die Matrizen haben dabei
> die Form:
> L [mm]\in \IR^{m x n}[/mm]
> C [mm]\in \IR^{n x m}[/mm]
> E [mm]\in \IR^{m x m}[/mm]
>
> Gesucht ist also die jenige(n) Matrix/Matrizen L, die
> folgendes erfüllen:
>
> [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h\\ i & j & k & l}[/mm] *
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 &-1& -1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1}.[/mm]
>
> So weit, so gut.
>
> Jetzt verstehe ich aber nicht wie ich das ganze umformen
> soll.
Du kannst ja jetzt die matrixmultiplikation ausführen, das liefert Dir eine 3x3 Matrix. Deren Einträge kannst Du mit der Einheitsmatrix vergleichen, woraus Du ein LGS mit 9 Gleichungen und 12 Variablen bekommst, welches es zu lösen gilt.
Du siehst also: Deinen Weg kann man gehen.
Da das GS unterbestimmt ist, wirst Du natürlich keine eindeutige Lösung bekommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
