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| Aufgabe | | Erstelle alle Linksnebenklassen sH [mm] \in [/mm] G/H für [mm] G=S_{4} [/mm] und H=<(1324)> |
H=<(1324)>={id,(12)(34),(1423),(1324)}
um jetzt alle Linksnebenklassen zu bilden muss ich jetzt einfach auf jeden Term alle Elemente von [mm] S_{4} [/mm] anwenden, auch wenn das sehr mühsam ist: also zb:
(12)H={(12),(34),(14)(23),(13)(42)}
(13)H=....
.
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(1432)H=....
ist das so richtig?!
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Hallo mathestudent3!
> Erstelle alle Linksnebenklassen sH [mm]\in[/mm] G/H für [mm]G=S_{4}[/mm] und
> H=<(1324)>
> H=<(1324)>={id,(12)(34),(1423),(1324)}
> um jetzt alle Linksnebenklassen zu bilden muss ich jetzt
> einfach auf jeden Term alle Elemente von [mm]S_{4}[/mm] anwenden,
> auch wenn das sehr mühsam ist: also zb:
> (12)H={(12),(34),(14)(23),(13)(42)}
> (13)H=....
> .
> .
> .
> .
> (1432)H=....
>
> ist das so richtig?!
>
Du machst Dir viel Arbeit, und weißt nicht welche der Linksnebenklassen gleich sind.
Es ist [mm] $|S_4:H| [/mm] = 6$, also gibt es genau $6$ Linksnebenklassen von $H$ in [mm] $S_4$.
[/mm]
Jetzt denk mal über Nebenklassen der Form $H$ und $(ij)H$ nach.
Hinweis1: Es gibt in $H$ nur die zwei geraden Permutationen [mm] $\text{id}$ [/mm] und $(12)(34)$.
Hinweis2: Zwei Linksnebenklassen $(ij)H$, $(kl)H$ sind genau dann gleich, wenn [mm] $(ij)(kl)\in [/mm] H$.
LG mathfunnel
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Aber auch wenn es sinnlos viel arbeit wäre, wäre es trotzdem richtig oder?!
also mit hinweis 2 ist mir klar dass, (12) und (34) mal die selbe nebenklasse haben!
den zweiten hinweis verstehe ich leider nicht ganz. wie hilft der mir weiter?
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Hallo mathestudent3!
> Aber auch wenn es sinnlos viel arbeit wäre, wäre es
> trotzdem richtig oder?!
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> also mit hinweis 2 ist mir klar dass, (12) und (34) mal die
> selbe nebenklasse haben!
> den zweiten hinweis verstehe ich leider nicht ganz. wie
> hilft der mir weiter?
also, wenn mit 'Erstellen aller Linksnebklassen' wirklich gemeint ist, dass man eine Aufzählung sämtlicher Linksnebenklassen mit Wiederholungen und expliziter Darstellung sämtlichen Elemente der Linksnebenklassen erstellen soll, dann ist das richtig. Was damit wirklich gemeint ist, weiß ich nicht! Ich würde einfach die Linksnebenklasse $H$ und die $5$ Linksnebenklassen der Form $(ij)H$ hinschreiben.
Der Hinweis 'Es gibt in H nur die zwei geraden Permutationen $ [mm] \text{id} [/mm] $ und $(12)(34)$.'
zeigt, dass sehr viele der der Linksnebenklassen der Form $(ij)H$ verschieden sind, da $(ij)(kl)$ gerade ist.
LG mathfunnel
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und woher weißt du, dass die terme mit (ijk)H und (ijkl)H keine neuen Linksnebenklassen mehr ergeben?! wieso betrachtest du nur die mit (ij)
und einmal zwischendurch ein danke für deine hilfe!!!
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> und woher weißt du, dass die terme mit (ijk)H und (ijkl)H
> keine neuen Linksnebenklassen mehr ergeben?!
das weiß ich erst dann, wenn ich alle $6$ gefunden habe. Sollten unter den
$(ij)H$ nicht $5$ zu finden sein, dann müsste man halt noch ein bisschen weiter suchen! 
> wieso
> betrachtest du nur die mit (ij)
Die machen am wenigsten Arbeit!
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> und einmal zwischendurch ein danke für deine hilfe!!!
LG mathfunnel
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