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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | a) Es seien $a,b\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R,R})$ und $t_0\in\mathbb{R}$. Für die Differentialgleichung $$x''(t)=a(t)x(t)+b(t)x'(t), \qquad t\in[t_0,\infty);$$
sei eine Lösung $u$ bekannt, die die Anfangswerte $u(t_0)=1$ und $u'(t_0)=0$ sowie die Bedingung $u(t)\neq 0$ für alle $t\in[t_0,\infty )$ erfüllt. Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Liouville, dass sich hieraus eine zu $u$ linear Unabhängige Lösung $v$, die die Anfangsbedingungen $v(t_0)=0,v'(t_0)=1$ erfüllt, gemäß der folgenden Formel berechnen lässt: $$v(t)=\exp\left(\int_{t_0}^t{\frac{u'(s)}{u(s)}}ds\right)*\left(\int_{t_0}^t{\frac{1}{u(s)}*exp\left(\int_{t_0}^s{b(r)-\frac{u'(r)}{u(r)}}dr\right)}ds\right)\right)$$ |
Guten Tag zusammen,
ich arbeite derzeit an der oben stehenden Aufgabe.
Jedoch komme ich nicht weiter.
Ich habe zuerst die DGL in eine DGL 1. Ordnung überführt.
Dann erhalte ich das AWP:
$$\pmat{y_1'(t)\\y_2'(t)}=\pmat{0&1\\a(t)&b(t)}*\pmat{y_1(t)\\y_2(t)}$$
Mit i) $y(t_0)=\pmat{1\\0}$
bzw. ii) $y(t_0)=\pmat{0\\1}$
Unsere Version Des Satzes von Liouville:
Sei $t\mapsto \Phi(t)\in\mathbb{R}^{n\times n}$ Matrixlösung von $x'(t)=A(t)*x(t)$. Dann gilt nach Liouville: $$\det \Phi (t) = \det \Phi (t_0)*\exp\left(\int_{t_0}^t{tr{A(s)}}ds\right),$$
D.h.:
$t\mapsto \det(\Phi (t) )$ genügt selbst einer Skalaren DGL, nämlich: $$\frac{d}{dt}(\det \Phi (t))=tr A(t)*\det \Phi (t)$$
Nun weiß ich nicht genau, wie ich weiter machen soll.
Ich dachte vllt. kann man iwas mit der Hauptfundamentalmatrix bezgl. $t_0$.
Also dann die Matrix $\pmat{u(t)&v(t)\\u'(t)&v'(t)}=I_2\mbox{ für } t=t_0$.
Aber trotzdem komme ich nicht weiter.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Vielen Dank
HugATree
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 28.11.2013 | | Autor: | HugATree |
Sorry, für den Push.
Aber hat niemand deine Idee? :(
Vielen Dank
HugATree
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Guten Abend,
also ich habe jetzt mal auf mein DGL-System versucht iwie Liouville anzuwenden:
Also wir haben die Lösungsmatrix [mm] $\Phi(t):=\pmat{u(t)&v(t)\\u'(t)&v'(t)}$
[/mm]
Dann gilt nach Liouville:
[mm] $det(\Phi(t))=u(t)*v'(t)-u'(t)*v(t)=exp\left(\int_{t_0}^t b(s) ds \right)$
[/mm]
Jedoch komme ich immer noch nicht auf meine richtige Form.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Hug
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Fr 29.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 29.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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