Lipschitz-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 12.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit und auf Lipschitz-Stetigkeit:
$ [mm] f:(\bruch{1}{4},\infty)->\IR, x\mapsto\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}} [/mm] $ |
Ich habe zuerst versucht Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen, da ich dann auf die gleichmäßige Stetigkeit schließen könnte.
$ [mm] |f(x)-f(y)|=|\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}-\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}}|=2*(|\bruch{1}{\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{y}}|)=2*(\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{\wurzel{y}}) [/mm] $
Ich müsste aber auf die Darstellung L|x-y| kommen mit irgendeiner Zahl L aus den reellen Zahlen. Das erscheint mir aber gar nicht möglich, da aufgrund des x und y im Nenner des Bruches dieser unendlich groß werden kann, also immer größer als eine Konstante L.
Mit dem Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit habe ich im allgemeinen auch noch schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf gleichmäßige
> Stetigkeit und auf Lipschitz-Stetigkeit:
> [mm]f:(\bruch{1}{4},\infty)->\IR, x\mapsto\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}[/mm]
>
> Ich habe zuerst versucht Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen,
> da ich dann auf die gleichmäßige Stetigkeit schließen
> könnte.
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}-\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}}|=2*(|\bruch{1}{\wurzel{x}}-\bruch{1}{\wurzel{y}}|)=2*(\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{\wurzel{y}})[/mm]
Da oben stimmt keines der "=" - Zeichen , bis aufs erste
Zeige: es gibt ein L >0 mit: $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L$ für alle x>1/4
Mit dem Mittelwertsatz folgt dann: |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y| für x,y >1/4
FRED
>
> Ich müsste aber auf die Darstellung L|x-y| kommen mit
> irgendeiner Zahl L aus den reellen Zahlen. Das erscheint
> mir aber gar nicht möglich, da aufgrund des x und y im
> Nenner des Bruches dieser unendlich groß werden kann, also
> immer größer als eine Konstante L.
>
> Mit dem Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit habe ich im
> allgemeinen auch noch schwierigkeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 12.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Stimmt, ist natürlich Unsinn was dort steht. Aber die erste Gleichheit stimmt doch?
Aber warum nehme ich denn jetzt die Ableitung? Den Mittelwertsatz haben wir in der Vorlesung glaube ich noch gar nicht eingeführt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt, ist natürlich Unsinn was dort steht. Aber die
> erste Gleichheit stimmt doch?
nein.
Edit: das erst"=" stimmt.
>
> Aber warum nehme ich denn jetzt die Ableitung?
Weil es damit funktioniert !
> Den
> Mittelwertsatz haben wir in der Vorlesung glaube ich noch
> gar nicht eingeführt.
Dann machen wirs ohne diesen Satz:
Zeige der Reihe nach:
1.
$|f(x)-f(y)| [mm] \le 4*|\wurzel{x}-\wurzel{y}|$
[/mm]
2.
[mm] \wurzel{x}-\wurzel{y}= \bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}
[/mm]
3.
$|f(x)-f(y)| [mm] \le 4*\bruch{|x-y|}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}$
[/mm]
4.
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] 4*|x-y|$ für x,y > 1/4
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 12.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Eine kurze Nachfrage noch: Vielleicht bin ich gerade blind, aber warum gilt die erste Gleichheit nicht? Die Funktion bildet doch x ab und y.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine kurze Nachfrage noch: Vielleicht bin ich gerade blind,
> aber warum gilt die erste Gleichheit nicht? Die Funktion
> bildet doch x ab und y.
Pardon, Du hast recht. Das erste "=" stimmt natürlich
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 15.01.2012 | | Autor: | triad |
Hallo fred,
was genau ist 1. $ |f(x)-f(y)| [mm] \le 4\cdot{}|\wurzel{x}-\wurzel{y}| [/mm] $ und wie kommt man darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
bring dein f(x)-f(y) mal auf den Hauptnenner und zeig das dann
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 15.01.2012 | | Autor: | triad |
$ |f(x)-f(y)| $
$ [mm] |\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}-\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}}| [/mm] $
$ [mm] |\bruch{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}-\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}{(\bruch{1}{2}+\wurzel{x})(\bruch{1}{2}+\wurzel{y})}| [/mm] $
$ [mm] |\bruch{\wurzel{y}+\wurzel{x}}{\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{y}}{2}+\bruch{\wurzel{x}}{2}+\bruch{\wurzel{x}\wurzel{y}}{1}}| [/mm] $
$ [mm] |\bruch{\wurzel{y}+\wurzel{x}}{\bruch{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}{4}}| [/mm] $
$ [mm] |\bruch{4(\wurzel{y}+\wurzel{x})}{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}| [/mm] $
$ [mm] 4\cdot|\bruch{(\wurzel{y}+\wurzel{x})}{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}| [/mm] $
hier komme ich grade nicht weiter.
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> [mm]|f(x)-f(y)|[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}-\bruch{1}{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}}|[/mm]
bis hier richtig.
und ab jetzt VORZEICHENFEHLER !
>
> [mm]|\bruch{\bruch{1}{2}+\wurzel{y}-\bruch{1}{2}+\wurzel{x}}{(\bruch{1}{2}+\wurzel{x})(\bruch{1}{2}+\wurzel{y})}|[/mm]
>
> [mm]|\bruch{\wurzel{y}+\wurzel{x}}{\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{y}}{2}+\bruch{\wurzel{x}}{2}+\bruch{\wurzel{x}\wurzel{y}}{1}}|[/mm]
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> [mm]|\bruch{\wurzel{y}+\wurzel{x}}{\bruch{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}{4}}|[/mm]
>
> [mm]|\bruch{4(\wurzel{y}+\wurzel{x})}{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}|[/mm]
>
> [mm]4\cdot|\bruch{(\wurzel{y}+\wurzel{x})}{1+2\wurzel{x}+2\wurzel{y}+4\wurzel{x}\wurzel{y}}|[/mm]
>
> hier komme ich grade nicht weiter.
LG Scherzkrapferl
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