Lipschitz-stetig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien U [mm] \subset IR^n [/mm] offen, K [mm] \subset [/mm] U kompakt und f: U [mm] \to IR^m [/mm] stetig. Zeige:
a) Ist [mm] f|_K [/mm] nicht Lipschitz, so existieren konvergente Folgen [mm] (x_n)_n [/mm] und [mm] (y_n)_n [/mm] in K derart, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n, [/mm] aber [mm] ||f(x_n)-f(y_n)|| [/mm] > n [mm] ||x_n-y_n|| [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
b) Ist f [mm] \in C^1 [/mm] (U, [mm] \IR^m), [/mm] so ist [mm] f|_K [/mm] Lipschitz. |
Hallo, ich brauche zu obiger Aufgabe Hilfe.
zu a) habe ich keine Idee.
bei b) würde ich a) verwenden, denn es gilt ja dann dass [mm] ||f(x_n)-f(y_n)|| \le [/mm] n [mm] ||x_n-y_n|| [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] dann würde ich die Mittelwertabschätzung verwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien U [mm]\subset IR^n[/mm] offen, K [mm]\subset[/mm] U kompakt und f: U
> [mm]\to IR^m[/mm] stetig. Zeige:
> a) Ist [mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitz, so existieren konvergente
> Folgen [mm](x_n)_n[/mm] und [mm](y_n)_n[/mm] in K derart, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n,[/mm] aber [mm]||f(x_n)-f(y_n)||[/mm] > n
> [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b) Ist f [mm]\in C^1[/mm] (U, [mm]\IR^m),[/mm] so ist [mm]f|_K[/mm] Lipschitz.
> Hallo, ich brauche zu obiger Aufgabe Hilfe.
>
> zu a) habe ich keine Idee.
[mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitzstetig bedeutet:
Zu jedem L>0 gibt es [mm] x_L,y_L \in [/mm] K mit [mm] ||f(x_L)-f(y_L)|| \ge L*||x_L-y_L||
[/mm]
Zu jedem j [mm] \in \IN [/mm] gibt es also [mm] u_j,v_j \in [/mm] K mit
[mm] ||f(u_j)-f(v_j)|| \ge j*||u_j-v_j||.
[/mm]
K ist kompakt, also enthält [mm] (u_j) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (u_{j_l}) [/mm] mit Limes in K.
Da K kompakt ist, enthält [mm] (v_{j_l}) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (v_{j_{l_n}}) [/mm] mit Limes in K.
Setze [mm] x_n:=u_{j_{l_n}} [/mm] und [mm] y_n:=v_{j_{l_n}} [/mm] und zeige, dass die Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] die geforderten Eigenschaften haben.
>
> bei b) würde ich a) verwenden, denn es gilt ja dann dass
> [mm]||f(x_n)-f(y_n)|| \le[/mm] n [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm]
Unsinn !
> dann würde ich die Mittelwertabschätzung verwenden.
Machs doch direkt mit dieser Abschätzung.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 31.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich muss z.Z. dieselbe Aufgabe bearbeiten. Hier mal meine Ideen (zur b))
> > Seien U [mm]\subset IR^n[/mm] offen, K [mm]\subset[/mm] U kompakt und f: U
> > [mm]\to IR^m[/mm] stetig. Zeige:
> > a) Ist [mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitz, so existieren konvergente
> > Folgen [mm](x_n)_n[/mm] und [mm](y_n)_n[/mm] in K derart, dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n,[/mm] aber [mm]||f(x_n)-f(y_n)||[/mm] > n
> > [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > b) Ist f [mm]\in C^1[/mm] (U, [mm]\IR^m),[/mm] so ist [mm]f|_K[/mm] Lipschitz.
> > Hallo, ich brauche zu obiger Aufgabe Hilfe.
> >
> > zu a) habe ich keine Idee.
>
> [mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitzstetig bedeutet:
>
> Zu jedem L>0 gibt es [mm]x_L,y_L \in[/mm] K mit [mm]||f(x_L)-f(y_L)|| \ge L*||x_L-y_L||[/mm]
>
> Zu jedem j [mm]\in \IN[/mm] gibt es also [mm]u_j,v_j \in[/mm] K mit
>
> [mm]||f(u_j)-f(v_j)|| \ge j*||u_j-v_j||.[/mm]
>
> K ist kompakt, also enthält [mm](u_j)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](u_{j_l})[/mm] mit Limes in K.
>
> Da K kompakt ist, enthält [mm](v_{j_l})[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](v_{j_{l_n}})[/mm] mit Limes in K.
Weshalb habe ich jetzt bei v 3 Indizes und bei u nur 2?
>
> Setze [mm]x_n:=u_{j_{l_n}}[/mm] und [mm]y_n:=v_{j_{l_n}}[/mm] und zeige, dass
> die Folgen [mm](x_n)[/mm] und [mm](y_n)[/mm] die geforderten Eigenschaften
> haben.
>
>
> >
> > bei b) würde ich a) verwenden, denn es gilt ja dann dass
> > [mm]||f(x_n)-f(y_n)|| \le[/mm] n [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm]
>
> Unsinn !
>
>
> > dann würde ich die Mittelwertabschätzung verwenden.
>
> Machs doch direkt mit dieser Abschätzung.
Ok , ich versuche es:
U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen, f einmal stetig partiell diffbar. Seien x, [mm] \xi \in \IR^n [/mm] mit x+ t [mm] \xi \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,1]. Dann besagt die Mittelwertabschätzung ja:
||f(x+ [mm] \xi)-f(x)|| \le [/mm] M || [mm] \xi [/mm] ||
Hierauf angewandt mit [mm] \xi [/mm] = [mm] y_K [/mm] - [mm] x_K:
[/mm]
[mm] ||f(y_K)-f(x_K)|| \le [/mm] L [mm] ||y_K-x_K||, [/mm] wobei L= sup [mm] ||J_f [/mm] (x+t [mm] \xi)|| [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [0;1]
> FRED
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:36 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Was meint ihr dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 01.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss z.Z. dieselbe Aufgabe bearbeiten. Hier mal meine
> Ideen (zur b))
>
> > > Seien U [mm]\subset IR^n[/mm] offen, K [mm]\subset[/mm] U kompakt und f: U
> > > [mm]\to IR^m[/mm] stetig. Zeige:
> > > a) Ist [mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitz, so existieren
> konvergente
> > > Folgen [mm](x_n)_n[/mm] und [mm](y_n)_n[/mm] in K derart, dass
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n,[/mm] aber [mm]||f(x_n)-f(y_n)||[/mm] > n
> > > [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> > >
> > > b) Ist f [mm]\in C^1[/mm] (U, [mm]\IR^m),[/mm] so ist [mm]f|_K[/mm] Lipschitz.
> > > Hallo, ich brauche zu obiger Aufgabe Hilfe.
> > >
> > > zu a) habe ich keine Idee.
> >
> > [mm]f|_K[/mm] nicht Lipschitzstetig bedeutet:
> >
> > Zu jedem L>0 gibt es [mm]x_L,y_L \in[/mm] K mit [mm]||f(x_L)-f(y_L)|| \ge L*||x_L-y_L||[/mm]
>
> >
> > Zu jedem j [mm]\in \IN[/mm] gibt es also [mm]u_j,v_j \in[/mm] K mit
> >
> > [mm]||f(u_j)-f(v_j)|| \ge j*||u_j-v_j||.[/mm]
> >
> > K ist kompakt, also enthält [mm](u_j)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge [mm](u_{j_l})[/mm] mit Limes in K.
> >
> > Da K kompakt ist, enthält [mm](v_{j_l})[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge [mm](v_{j_{l_n}})[/mm] mit Limes in K.
>
> Weshalb habe ich jetzt bei v 3 Indizes und bei u nur 2?
Die Folge [mm](v_{j_l})[/mm] wird i.a. nicht konvergieren. Aber sie enthält eine konvergente Teilfolge [mm] (v_{j_{l_n}}).
[/mm]
> >
> > Setze [mm]x_n:=u_{j_{l_n}}[/mm] und [mm]y_n:=v_{j_{l_n}}[/mm] und zeige, dass
> > die Folgen [mm](x_n)[/mm] und [mm](y_n)[/mm] die geforderten Eigenschaften
> > haben.
> >
> >
> > >
> > > bei b) würde ich a) verwenden, denn es gilt ja dann dass
> > > [mm]||f(x_n)-f(y_n)|| \le[/mm] n [mm]||x_n-y_n||[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm]
> >
> > Unsinn !
> >
> >
> > > dann würde ich die Mittelwertabschätzung verwenden.
> >
> > Machs doch direkt mit dieser Abschätzung.
>
> Ok , ich versuche es:
>
> U [mm]\subset \IR^n[/mm] offen, f einmal stetig partiell diffbar.
> Seien x, [mm]\xi \in \IR^n[/mm] mit x+ t [mm]\xi \in[/mm] U [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm]
> [0,1]. Dann besagt die Mittelwertabschätzung ja:
>
> ||f(x+ [mm]\xi)-f(x)|| \le[/mm] M || [mm]\xi[/mm] ||
Was ist M ????
>
> Hierauf angewandt mit [mm]\xi[/mm] = [mm]y_K[/mm] - [mm]x_K:[/mm]
Was soll das denn ?? Was sollen [mm] x_K [/mm] und [mm] y_K [/mm] sein ?
>
> [mm]||f(y_K)-f(x_K)|| \le[/mm] L [mm]||y_K-x_K||,[/mm] wobei L= sup [mm]||J_f[/mm]
> (x+t [mm]\xi)||[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [0;1]
Kann es sein, dass Du eine Voraussetzung vergessen hast mitzuteilen ?
Etwa U konvex. Oder K konvex ?
FRED
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>
>
> > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Was das M betrifft, das steht so in der Mittelwertabschätzung , die wir im Skript stehen haben. M= sup [mm] ||J_f [/mm] (x+t $ [mm] \xi)|| [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [0;1] , ich wollte das nur nochmal allgemein hinschreiben. Nein, über Konvexität ist nichts bekannt, allerdings sind das ja die Voraussetzungen für die Mittelwertabschätzung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Fr 01.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Was das M betrifft, das steht so in der
> Mittelwertabschätzung , die wir im Skript stehen haben. M=
> sup [mm]||J_f[/mm] (x+t $ [mm]\xi)||[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [0;1] , ich wollte das
> nur nochmal allgemein hinschreiben. Nein, über Konvexität
> ist nichts bekannt, allerdings sind das ja die
> Voraussetzungen für die Mittelwertabschätzung.
>
Ich hab mich geirrt: es geht auch ohne die Konvexität von U oder von K.
Dazu nehmen wir an, $ [mm] f|_K [/mm] $ sei nicht Lipschitz-stetig. Dann gibt es Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] in K mit den Eigenschaften aus a).
Sei [mm] $x_0:= \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] $.
Da K Kompakt, und somit auch abgeschlossen ist, haben wir [mm] x_0 \in [/mm] K.
U ist offen, also ex. ein r>0 mit [mm] $K_0:=\overline{B_r(x_0)} \subseteq [/mm] U$,
wobei [mm] B_r(x_0):=\{x \in \IR^n: ||x-x_0||
[mm] K_0 [/mm] ist kompakt und die Abbildung $x [mm] \to [/mm] ||f'(x)||$ ist stetig, somit gibt es ein L>0 mit
$||f'(x)|| [mm] \le [/mm] L$ für alle $x [mm] \in K_0$
[/mm]
Mit der Mittelwertabscätzung folgt, beachte, dass [mm] K_0 [/mm] konvex ist,
(1) $ ||f(x)-f(y)|| [mm] \le [/mm] L*||x-y||$ für alle $x,y [mm] \in K_0$.
[/mm]
Wegen [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n \to x_0 [/mm] gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
(2) [mm] x_n, y_n \in K_0 [/mm] für alle n>N.
Für n [mm] \in \IN [/mm] haben wir dann, wegen a),
(3) [mm] $n*||x_n-y_n|| <||f(x_n)-f(y_n)||$.
[/mm]
Insbesondere folgt aus (3): [mm] x_n \ne y_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Andererseits folgt aus (1) und (2):
(4) [mm] ||f(x_n)-f(y_n)|| \le L*||x_n-y_n|| [/mm] für alle n>N.
Aus (3) und (4) folgt dann
[mm] $n*||x_n-y_n|| <||f(x_n)-f(y_n)|| \le L*||x_n-y_n||$ [/mm] für alle n>N.
Wegen [mm] x_n \ne y_n [/mm] bekommen wir schließlich
$n < L $ für alle n>N.
Dieser Widerspruch zeigt, dass $ [mm] f|_K [/mm] $ doch Lipschitz-stetig sein muss.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Besten Dank!
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