Lipschitz Konst einer DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:38 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
ich wollte Fragen wie man die Lipschitz Konstante einer DGL bestimmen kann.
Habe folgende DGL.
[mm] \bruch{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=16cos8t[/mm] und [mm] x(0)=x'(0)=0 [/mm]
Muss ich einfach die Lipschitz Konstante der Funktion [mm] f(t)=16cos8t [/mm] bestimmen?
und kann ich obige DGL auf einfach als:
[mm] x''+64x=16cos8t [/mm] schreiben oder muss ich hier etwas wichtiges beachten ne oder?
Vielen Dank für eure Hifle,
Gruss Toyo
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Hallo Toyo,
> Habe folgende DGL.
> [mm]\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=16cos8t[/mm] und [mm]x(0)=x'(0)=0[/mm]
>
> Muss ich einfach die Lipschitz Konstante der Funktion
> [mm]f(t)=16cos8t[/mm] bestimmen?
Nein, Näheres siehe unten.
> und kann ich obige DGL auf einfach als:
> [mm]x''+64x=16cos8t[/mm] schreiben oder muss ich hier etwas
> wichtiges beachten ne oder?
Nein, ist ok so. Besser noch
[mm]x''=16cos8t-64x =: f(t,x)[/mm]
denn für dieses f musst Du die Lipschitzkonstante bestimmen, vorausgestzt Du willst nach Picard-Lindelöf einen Integraloperator definieren und eine Funktionenfolge, die gegen die Lösung konvergiert:
[mm] |f(t,x_1) [/mm] - [mm] f(t,x_2)| \le L|x_1-x_2|
[/mm]
diese Bedingung muss die Lipschitzkonstante L > 0 für alle x und t aus dem Definitionsbereich erfüllen.
Für den Picard-L solltest Du genauer noch die DGL auf die Ordnung 1 reduzieren durch:
x'(t) =: y(t)
y'(t) = f(t,x)
wobei y eine Hilfsfunktion ist (nämlich einfach x'). Dann kanst Du die DGL vektoriell schreiben als
[mm] \vec{z}'(t) [/mm] = [mm] \vektor{x'\\y'} [/mm] = [mm] \vektor{y\\f(t,x)} [/mm] mit Anfangsbedingung [mm] \vektor{0\\16} [/mm] (wenn man oben t=0 und die Anfangsbed. einsetzt)
Eigentlich musst Du von der rechten Vektorfunktion die Lipschitzkonst. bestimmen, das aber nur der Vollständigkeit halber.
Grüße, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Toyo |
Hi Richard, vielen Dank für deine Antwort. Hab jetzt für die Lipschitzkonstante 64 raus.
aber ich verstehe noch nicht wie du auf den vektor [mm] \vektor{ 0 \\ 16 } [/mm] kommst.
Und dann wollte ich noch fragen, wie ich die Lipschitzbedingung von [mm] \vektor{ y \\ f(t,x)} [/mm] berechne. Nehme ich dann eine Norm in der Lipschitzbedingung? Wenn ja welche 2er?
Danke für deine Hilfe.
Gruss
Toyo
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Hallo Toyo,
> Ich verstehe noch nicht wie du auf den vektor
> [mm]\vektor{ 0 \\ 16 }[/mm] kommst.
[mm]\vektor{y(0)\\ f(0,x(0))} = \vektor{x'(0) \\ f(0,x(0))} = \vektor{0\\16\cos(8*0)-64*0}[/mm]
> Und dann wollte ich noch fragen, wie ich die
> Lipschitzbedingung von [mm]\vektor{ y \\ f(t,x)}[/mm] berechne.
> Nehme ich dann eine Norm in der Lipschitzbedingung? Wenn ja
> welche 2er?
Die kannst Du Dir im Prinzip aussuchen: davon hängt dann nur der Konvergenzradius ab. Wenn Du die Suppremumsnorm nimmst müsste L* = [mm] max\{1,L\} [/mm] sein, bei der 2-Norm L* = [mm] \wurzel{1+L²}, [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet hab.
Gruß, Richard
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