Lipschitzstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Sa 25.07.2009 | | Autor: | laptop |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen lipschitzstetig bzgl. y in den Bereichen R={(x,y): |x|<=1, |y|<=1} und S={(x,y): |x|<=1} sind:
a) f(x,y) = [mm] x^4 [/mm] * y
b) f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] y^2
[/mm]
c) f(x,y) = x + |y|
d) f(x,y) = sqrt(|y|)
e) f(x,y) = |x|
f) f(x,y) = y/x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo alle zusammen!
die lipschitzstetigkeit ist für mich etwas neues und bereitet mir leider noch schwierigkeiten, insbesondere im mehrdimensionalen. bisher bin ich soweit:
aus der definition der lipschitzstetigkeit habe ich gefolgert, dass eine funktion genau dann lipschitzstetig ist, wenn ihre ableitung beschränkt ist (und zwar durch die lipschitzkonstante). liege ich da richtig?
damit bin ich dann die aufgaben angegangen. hier meine lösungsansätze:
a) df/dy = [mm] x^4
[/mm]
f l-stetig auf R und S, da df/dy <= 1 in beiden fällen
b) df/dy = 2 * [mm] x^2 [/mm] * y
f l-stetig auf R, da df/dy <= 2, f aber nicht l-stetig auf S, da df/dy dort unbeschränkt ist
c) df/dy = 0 ? wie leite ich die betragsfunktion bei |y| ab, die ist doch bei 0 nicht differenzierbar ? würde sagen dass die funktion l-stetig aus R und S ist mit l-konstante 1, aber wie zeige ich das ohne |y| ableiten zu müssen?
d) gleiches problem mit betrag
e) gleiches problem mit betrag
f) df/dy = 1/x
nicht l-stetig auf R und S, da lim 1/x = unendlich für x gegen 0
das ist mein erster beitrag in diesem forum. ich hoffe ich habe alles richtig gemacht. wie man formeln hier reinsetzt muss ich mir noch durchlesen, ich hoffe es geht jetzt erstmal so :)
mit freundlichen grüßen
laptop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mo 27.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen lipschitzstetig
> bzgl. y in den Bereichen R={(x,y): |x|<=1, |y|<=1} und
> S={(x,y): |x|<=1} sind:
> a) f(x,y) = [mm]x^4[/mm] * y
> b) f(x,y) = [mm]x^2[/mm] * [mm]y^2[/mm]
> c) f(x,y) = x + |y|
> d) f(x,y) = sqrt(|y|)
> e) f(x,y) = |x|
> f) f(x,y) = y/x
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo alle zusammen!
>
> die lipschitzstetigkeit ist für mich etwas neues und
> bereitet mir leider noch schwierigkeiten, insbesondere im
> mehrdimensionalen. bisher bin ich soweit:
>
> aus der definition der lipschitzstetigkeit habe ich
> gefolgert, dass eine funktion genau dann lipschitzstetig
> ist, wenn ihre ableitung beschränkt ist (und zwar durch
> die lipschitzkonstante). liege ich da richtig?
> damit bin ich dann die aufgaben angegangen. hier meine
> lösungsansätze:
>
> a) df/dy = [mm]x^4[/mm]
> f l-stetig auf R und S, da df/dy <= 1 in beiden fällen
> b) df/dy = 2 * [mm]x^2[/mm] * y
> f l-stetig auf R, da df/dy <= 2, f aber nicht l-stetig auf
> S, da df/dy dort unbeschränkt ist
> c) df/dy = 0 ? wie leite ich die betragsfunktion bei |y|
> ab, die ist doch bei 0 nicht differenzierbar ? würde sagen
> dass die funktion l-stetig aus R und S ist mit l-konstante
> 1, aber wie zeige ich das ohne |y| ableiten zu müssen?
Hallo!
Du sagtest, dass die Ableitung beschränkt sein muss durch L. Betrachte einfach an Stelle der Ableitung einen Differenzenquotienten zwischen zwei beliebigen Stellen des Definitionsbereichs.
Im konkreten Fall wäre das [mm] \bruch{|y_2|-|y_1|}{y_2-y_1}. [/mm] Dieser Term ist 1 oder -1, wenn beide Punke auf dem selben Ast liegen. Wenn die Punkte auf verschiedenen Ästen liegen, liegt dieser Term zwischen -1 und 1.
> d) gleiches problem mit betrag
Bereits im Teilintervall 0<y<1 hat die Wurzelfunktion einen unbeschränkten Anstieg.
Gruß Abakus.
> e) gleiches problem mit betrag
> f) df/dy = 1/x
> nicht l-stetig auf R und S, da lim 1/x = unendlich für x
> gegen 0
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> das ist mein erster beitrag in diesem forum. ich hoffe ich
> habe alles richtig gemacht. wie man formeln hier reinsetzt
> muss ich mir noch durchlesen, ich hoffe es geht jetzt
> erstmal so :)
>
> mit freundlichen grüßen
> laptop
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