Lissajous-Figur < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Fr 16.06.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo alle zusammen,
meine Frage ist folgende:
Bei einer Lissajous-Figur wird vorausgesetzt, dass die Amplitude der beiden Schwinungen und auch die Frequenz gleich ist.
Also zB.
x(t) = sin(t)
y(t) = [mm] sin(t+\phi)
[/mm]
Nun soll man zeigen, dass sich immer eine Ellipse oder ein Kreis bilden.
Und genau hier ist mein Problem =)
ich habe herausgefunden, dass wenn das Verhältnis der Frequenzen rational ist, dass dann die Figur geschlossen ist. das ist hier natürlich der fall.
aber wie zeige ich, dass es eine ellipse wird?
anschaulich ist das ganze klar, aber rechnerisch hab ich leider keinen ansatz.
ich kann das ganze zwar in eine parameterform bringen:
[mm] K={\begin{pmatrix} sin(t) \\ sin(t+\phi) \end{pmatrix}| t\in[0;2\pi ) \ ;\ \phi \ beliebig}
[/mm]
aber damit komme ich auch nicht weiter.
Für eine Hilfestellung oder einen Ansatz wäre ich euch sehr dankbar.
Vielen Dank im Voraus
Gruß
jerry
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 16.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Benjamin!
> meine Frage ist folgende:
> Bei einer Lissajous-Figur wird vorausgesetzt, dass die
> Amplitude der beiden Schwinungen und auch die Frequenz
> gleich ist.
> Also zB.
> x(t) = sin(t)
> y(t) = [mm]sin(t+\phi)[/mm]
>
> Nun soll man zeigen, dass sich immer eine Ellipse oder ein
> Kreis bilden.
> Und genau hier ist mein Problem =)
>
> ich habe herausgefunden, dass wenn das Verhältnis der
> Frequenzen rational ist, dass dann die Figur geschlossen
> ist. das ist hier natürlich der fall.
> aber wie zeige ich, dass es eine ellipse wird?
Wende doch mal auf y(t) = [mm]sin(t+\phi)[/mm] das Additionstheorem für den Sinus an, und dann gibt es 2 Möglichkeiten:
x in y einsetzen (dabei cos durch sin ausdrücken) oder
die Parameterdarstellung suchen
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Fr 16.06.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Dieter,
erstmal dankeschön für die fixe Hilfe.
ich habe nun das additionstheorem auf die y-Gleichung angewandt, dann cos mit der gleichung:
[mm] cos=\sqrt{1-sin^2}
[/mm]
ersetzt.
danach habe ich alle sin(t) durch x ersetzt und habe nun folgende gleichung heraus:
[mm] y^2=x^2-2\cdot sin(\phi)^2\cdot x^2 [/mm] + [mm] sin(\phi)^2
[/mm]
ist dies nun eine gleichung für eine ellipse? gibt es überhaupt eine allgemeine gleichung für ellipsen?
denn ich kann ja nun [mm] \phi [/mm] so setzen damit ich eine kreisgleichung ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 ), oder?
dann hätte ich die bedingung dass sich bei bestimmten [mm] \phi [/mm] werten ein kreis ergibt.
oder hab ich irgendwo den richtigen pfad verlassen? =)
gruß jerry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 16.06.2006 | | Autor: | statler |
Du hast da irgendwo den richtigen Pfad verlassen, schaun wer mal, was Leduart sagt.
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jerry
erst mal ein Misverständnis ausräumen: Die amplituden der 2 Schwingungen müssen nicht gleich sein. die einfachste Ellipse erhält man für eine Phasenverschiebung von [mm] \pi/2, [/mm] dann hat man x=acost; y=bsintt und damit [mm] :$\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$ [/mm] eine Ellipse mit Achsen in y und x Richtung a=b ergibt den Kreis.
Gedrehte Ellipsen sind etwas schwerer zu sehen. Ihre allgemeine Parameterdarstellung ist: x=asint, [mm] y=bsin(t+\phi)
[/mm]
Wenn du mit Drehmatrizen umgehen kannst, kannst du das in der Parameterform leicht zeigen.
> ich habe nun das additionstheorem auf die y-Gleichung
> angewandt, dann cos mit der gleichung:
> [mm]cos=\sqrt{1-sin^2}[/mm]
> ersetzt.
> danach habe ich alle sin(t) durch x ersetzt und habe nun
> folgende gleichung heraus:
> [mm]y^2=x^2-2\cdot sin(\phi)^2\cdot x^2[/mm] + [mm]sin(\phi)^2[/mm]
Du hast wohl Fehler beim umformen gemacht:
Ich bekomme : [mm] $x^2 +y^2 -2xy*sin\phi=sin^2\phi [/mm] $
Das ist wirklich ne Ellipse.
> ist dies nun eine gleichung für eine ellipse? gibt es
> überhaupt eine allgemeine gleichung für ellipsen?
Ja, du findest sie, wenn du die Parameterdarstellung umformst.
> denn ich kann ja nun [mm]\phi[/mm] so setzen damit ich eine
> kreisgleichung ( [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1 ), oder?
> dann hätte ich die bedingung dass sich bei bestimmten [mm]\phi[/mm]
> werten ein kreis ergibt.
Ja.
> oder hab ich irgendwo den richtigen pfad verlassen? =)
Nicht eigentlich: nur ist für gedrehte Ellipsen die Parameterform einfacher.
Die allgemeine Form mit Mittelpunkt im 0 Pkt [mm] $ax^2+by^2+cxy+d=0$ [/mm] (kann allerdings auch Hyperbeln geben ,nicht bei Lissajoux)
Aus den Abschnitten auf x und y Achse kann man leicht den Pasenwinkel bestimmen .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 16.06.2006 | | Autor: | jerry |
vielen dank.
leider ist mir noch nicht klar, wie du auf dein ergebnis gekommen bist. vor allem wie du den ausdruck
[mm] -2xy\cdot sin^2\phi
[/mm]
erhalten hast.
und nochmal zu meiner klarheit =)
wenn ich diese gleichung dann habe, ist das eindeutig eine ellipse? oder hab ich was falsch verstanden?
gruß jerry
PS: danke für den hinweis, allerdings ist in der aufgabe vorausgesetzt, dass frequenzen und amplituden gleich sind. sorry hätte ich etwas genauer schreiben können.
meine version nochmal etwas genauer, vlt findest du dann den fehler (kann leider keinen rechenfehler entdecken):
y = [mm] sin(\phi) \cdot cos(t)+sin(t)\cdot cos(\phi)
[/mm]
nun ersetze ich ich cos mit [mm] \sqrt{1-sin^2}:
[/mm]
[mm] y=sin(\phi)\cdot \sqrt{1-sin(t)^2}+sin(t)\cdot \sqrt{1-sin(\phi)^2}
[/mm]
nun quadriere ich die gleichung
[mm] y^2=sin(\phi)^2(1-sin(t)^2)+sin(t)^2(1-sin(\phi)^2)
[/mm]
ausmultiplizieren:
[mm] y^2= sin(\phi)^2 [/mm] - [mm] sin(\phi)^2 \cdot sin(t)^2 [/mm] + [mm] sin(t)^2 [/mm] - [mm] sin(\phi)^2 \cdot sin(t)^2
[/mm]
zusammenfassen:
[mm] y^2=-2\cdot sin(t)^2\cdot sin(\phi)^2 [/mm] + [mm] sin(t)^2 [/mm] + [mm] sin(\phi)^2
[/mm]
nun sin(t) mit x ersetzen:
[mm] y^2=-2\cdot sin(\phi)^2 \cdot x^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] sin(\phi)^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Artus |
Zitat:
[mm] y=sin(\phi)\cdot \sqrt{1-sin(t)^2}+sin(t)\cdot \sqrt{1-sin(\phi)^2} [/mm]
nun quadriere ich die gleichung
[mm] y^2=sin(\phi)^2(1-sin(t)^2)+sin(t)^2(1-sin(\phi)^2) [/mm]
Täusche ich mich oder ist das nicht der typische Fall der 1. Binomischen Formel
(a+b)² = a² + 2ab +b²
Wenn ja, dann hast Du den Term 2ab vegessen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Fr 16.06.2006 | | Autor: | jerry |
ehmm...ja daran wirds wohl liegen =)
vielen dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 16.06.2006 | | Autor: | jerry |
hallo nochmal,
ich muss leider doch nochmal nachhaken.
ich habe jetzt rumgerechnet, und rumgerechnet. aber ich komm einfach nich auf dein ergebnis.
auch mit dem tipp der bino. formel nich.
vlt kann jemand den weg doch nochmal genauer skizzieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jerry
x=sint
[mm] $y=sint*cos\phi+cost*sin\phi=x*cos\phi+\wurzel{1-x^2}*sin\phi$
[/mm]
[mm] $(y-x*cos\phi)^2=(1-x^2)*sin^2\phi$
[/mm]
[mm] $x^2+y^2-2*x*y*cos\phi=sin^2\phi$
[/mm]
In meinem ersten posting war ein kleiner Fehler [mm] sin\phi [/mm] statt [mm] cos\phi [/mm] bei xy.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Sa 17.06.2006 | | Autor: | jerry |
dankeschön und ein schönes wochenende wünsche ich euch.
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