Lösbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo, ich habe eine Frage. Ich möchte das Gleichungssystem hier in Abh. von b1, b2, b3 und b4 auf Lösbarkeit untersuchen.
[mm] \vmat{ 3 & -1 & 4 &b1\\ -2 & 3 & 1& b2\\8 & -5 & 7& b3 \\-13 & 9 & -10&b4}
[/mm]
Zweite Zeile auf erste addiert. Außerdem 2. Zeile mit 4 multipliziert und auf dritte addiert:
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 5 &b1 + b2\\ -2 & 3 & 1& b2\\0 & 7 & 11 & 4b2+b3 \\-13 & 9 & -10&b4}
[/mm]
Erste Zeile mit 2 multipliziert und auf zweite addiert. Erste mit 13 multipliziert und auf letzte addiert:
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 5 &b1 + b2\\ 0 & 7 & 11& 2b1 + 3b2\\0 & 7 & 11 & 4b2+b3 \\0 & 35 & 55&b4+13(b1+b2)}
[/mm]
dann hab ich mit 2 Möglichkkeiten weitergerechnet. Leider kommen bei beiden unterschiedliche Ergebnisse raus, was ja nicht sein kann:
Bei der ersten Möglichkeit habe ich erstmal die zweite Zeile mit - 1 multipliziert. Dann auf die dritte addiert.
Weiterhin habe ich die zweite mit -5 multiliziert und auf die letzte addiert. Dann bekomme ich:
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 5 &b1 + b2\\ 0 & 7 & 11& 2b1 + 3b2\\0 & 0 & 0 & -2b1+b2+b3\\0 & 0 & 0&3b1-2b2+b4}
[/mm]
Bei anderen Möglichkeit habe ich mit der dritten Zeile gearbeitet. Auch mit minus 1 multipliziert und dann auf die zweite addiert. Außerdem mit minus 5 multiploziert und auf die letzte addiert: (natürlich jetzt vom vorletzten Schritt aus gesehen, ich zeige ja 2 Möglichkeiten mit denen ich gerechnet habe)
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 5 &b1 + b2\\ 0 & 7 & 11& 4b2+b3\\0 & 0 & 0 & -b2 -b3 +2b1\\0 & 0 & 0&-7b2 -5b3+b4+13b1}
[/mm]
wenn ich jetzt die Lösungen jeweils Untersuche und eine Abh. mit dem Rang aufstelle, komme ich ja je nachdem welches Gleichungssystem ich nehme auf ganz unterschiedliche Ergebniss. Wie kann das sein oder habe ich einen Rechenfehler?
ich danke Euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 14.02.2007 | | Autor: | unknown |
Moin,
nein, Du hast Dich nicht verrechnet: Multipliziere bei der ersten Lösung (vorletzte Formel in Deinem Post) die dritte Zeile mit $-1$ und addiere sie dann $5$-mal zur vierten. Dann bekommst Du gerade die zweite Lösung (letzte Formel). Das sind zwei elementare Umformungen, die die Lösbarkeit ja nicht ändern.
Ich vermute, der Fehler kommt hinterher, wenn Du berechnest, wann der Rang $2$ ist. Du hast zwei äquivalente LGS für [mm] $b_1$, $b_2$, $b_3$ [/mm] und [mm] $b_4$ [/mm] zu lösen, da sollten eigentlich dann auch die gleichen Bedingungen herauskommen.
Hoffe, das hilft.
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