Lösbarkeit Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zu Determinanten, bezieht sich auf Frage b)
Bzgl. Teilaufgabe a) Hier habe ich die oberste Zeile von der untersten mit dem Parameter a abgezogen, sodass in der letzten Zeile nur noch ein a und 3 Nullen steht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann den Ansatz für n-reihige Determinanten, hier habe ich ja nur noch eine "3x3s Teildeterminante": [mm] D=a_{44}*A_{44}. [/mm] Und für [mm] A_{44} [/mm] habe ich als Determinante mit mehrfacher Nachrechnung 1 herausgebracht, also ist doch die Determinante von a abhänigig ? Also D=a.
b) Jetzt soll ich bestimmen, wann das LGS mehrdeutig und wann eindeutig lösbar ist. Dazu forme ich es erst in eine Dreiecksform um:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für a=0 ist die Determinante des Systems 0. Der Rang von A ist somit zugleich nicht mehr mit dem von Gesamtsystem (A und b) und das LGS ist nicht mehr lösbar.
Für a<>0 ist die Determinante ungleich 0 und somit das LGS eindeutig lösbar.
Für a=-1 ist die Determinante aber doch ebenfalls eindeutig lösbar oder? Wenn rechts eine Null steht, bedeuted das doch nicht, dass es nunmehr unendlich viele Lösungen gibt oder ?
c) Lösungsgesamtheit, bedeutet, die einzelnen Variablen [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] zu berechnen, wenn notwendig, mit Parameter. Wenn ich die Lösungsgesamtheit angeben möchte für die "eindeutige Lösung", wähle ich einfach ein beliebiges a, welches den Ansprüchen genügt ?
Ich würde mich darüber freuen, wenn mir jemand helfen kann :)
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
> Hallo,
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Das Bild mit der Aufgabenstellung fehlt leider: Auf Deine Fragen wird Dir also kaum jemand sinnvoll antworten können, sorry.
> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zu Determinanten,
> bezieht sich auf Frage b)
>
> Bzgl. Teilaufgabe a) Hier habe ich die oberste Zeile von
> der untersten mit dem Parameter a abgezogen, sodass in der
> letzten Zeile nur noch ein a und 3 Nullen steht:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann den Ansatz für n-reihige Determinanten, hier habe ich
> ja nur noch eine "3x3s Teildeterminante": [mm]D=a_{44}*A_{44}.[/mm]
> Und für [mm]A_{44}[/mm] habe ich als Determinante mit mehrfacher
> Nachrechnung 1 herausgebracht, also ist doch die
> Determinante von a abhänigig ? Also D=a.
>
> b) Jetzt soll ich bestimmen, wann das LGS mehrdeutig und
> wann eindeutig lösbar ist. Dazu forme ich es erst in eine
> Dreiecksform um:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Für a=0 ist die Determinante des Systems 0. Der Rang von A
> ist somit zugleich nicht mehr mit dem von Gesamtsystem (A
> und b) und das LGS ist nicht mehr lösbar.
> Für a<>0 ist die Determinante ungleich 0 und somit das LGS
> eindeutig lösbar.
> Für a=-1 ist die Determinante aber doch ebenfalls
> eindeutig lösbar oder? Wenn rechts eine Null steht,
> bedeuted das doch nicht, dass es nunmehr unendlich viele
> Lösungen gibt oder ?
>
> c) Lösungsgesamtheit, bedeutet, die einzelnen Variablen [mm]x_1[/mm]
> bis [mm]x_4[/mm] zu berechnen, wenn notwendig, mit Parameter. Wenn
> ich die Lösungsgesamtheit angeben möchte für die
> "eindeutige Lösung", wähle ich einfach ein beliebiges a,
> welches den Ansprüchen genügt ?
>
> Ich würde mich darüber freuen, wenn mir jemand helfen kann
> :)
>
> Lieben Gruß,
> Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
ich weiß nicht, warum das Bild nicht angezeigt wurde. Korrekt eingebunden und hochgeladen war es. Nun denn, hab nochmal Anhang 1 entfernt und als Anhang 4 hochgeladen- Die Aufgabe wird jetzt angezeigt.
Lieben Gruß,
Dirk
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zu Determinanten,
> bezieht sich auf Frage b)
>
> Bzgl. Teilaufgabe a) Hier habe ich die oberste Zeile von
> der untersten mit dem Parameter a abgezogen, sodass in der
> letzten Zeile nur noch ein a und 3 Nullen steht:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann den Ansatz für n-reihige Determinanten, hier habe ich
> ja nur noch eine "3x3s Teildeterminante": [mm]D=a_{44}*A_{44}.[/mm]
> Und für [mm]A_{44}[/mm] habe ich als Determinante mit mehrfacher
> Nachrechnung 1 herausgebracht, also ist doch die
> Determinante von a abhänigig ? Also D=a.
Ja, ich denke dies ist richtig.
> b) Jetzt soll ich bestimmen, wann das LGS mehrdeutig und
> wann eindeutig lösbar ist. Dazu forme ich es erst in eine
> Dreiecksform um:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Schön und gut, aber Du darfst doch nicht einfach nur die Matrix umformen: Du musst auch den Vektor [mm]\vec{b}[/mm] genau der Umformung der Matrix entsprechend umformen (Subtraktion der ersten Zeile/Koordinate von der letzten).
Du könntest aber auch einfach [mm]a=0[/mm] ins ursprüngliche (nicht umgeformte) System einsetzen und schauen, was sich dann sagen lässt (die erste und letzte Zeile - lineare Gleichung - sind dann nämlich identisch, so dass eine dieser beiden identischen Gleichungen weggelassen werden kann).
In jedem Falle ist dies hier noch nicht eine Dreiecksform (und es ist, weil Du den konstanten Vektor nicht richtig umgeformt hat, auch nicht einmal zum ursprünglichen Gleichungssystem äquivalent).
> Für a=0 ist die Determinante des Systems 0. Der Rang von A
> ist somit zugleich nicht mehr mit dem von Gesamtsystem (A
> und b) und das LGS ist nicht mehr lösbar.
Das scheint mir, aufgrund dessen, was Du hier argumentierst, nicht sicher. Sicher ist, dass, falls [mm]\det(A)=a=0[/mm] ist, dann liegt ein "pathologischer Fall" nicht-eindeutiger Lösbarkeit vor: entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
> Für a<>0 ist die Determinante ungleich 0 und somit das LGS
> eindeutig lösbar.
Richtig.
> Für a=-1 ist die Determinante aber doch ebenfalls
> eindeutig lösbar oder?
Was meinst Du hier mit "Lösbarkeit der Determinante"? Was ist besonderes an [mm]a=-1[/mm]? Deine Überlegung mit dem Nicht-Nullsein der Determinante gilt auch für [mm]a=-1[/mm]. Denn [mm]-1[/mm] ist doch eindeutig auch [mm]\neq 0[/mm] 
> Wenn rechts eine Null steht,
> bedeuted das doch nicht, dass es nunmehr unendlich viele
> Lösungen gibt oder ?
Wie gesagt, Einsetzen von [mm]a=0[/mm] in das ursprüngliche lineare Gleichungssystem zeigt: in diesem Falle sind die erste und die letzte Gleichung identisch. So dass Du an sich nur noch das System gebildet aus den ersten drei Gleichungen untersuchen musst). Dieses System
hat aber Rang = 3 (weil die Unterdeterminante 1 war, die Du bei der Bestimmung von [mm]\det(A)[/mm] berechnet hattest).
Aus diesem Grund können wir sagen: das System besitzt eine eindeutige Lösung, falls [mm]a\neq 0[/mm]. Es besitzt unendlich viele Lösungen, falls [mm]a=0[/mm].
>
> c) Lösungsgesamtheit, bedeutet, die einzelnen Variablen [mm]x_1[/mm]
> bis [mm]x_4[/mm] zu berechnen, wenn notwendig, mit Parameter.
Wir wissen an diesem Punkt schon, dass die Lösungsgesamtheit "1-dimensional" sein wird. Also benötigt man einen einzigen Parameter. Als Parameter kannst Du eine der vier Variablen verwenden, zum Beispiel [mm]x_4[/mm]. Behandle [mm]x_4[/mm] wie eine gegebene Konstante und drücke die (bei gegebenem [mm]x_4[/mm] eindeutige) Lösung des verbleibenden regulären [mm]3\times 3[/mm] linearen Gleichungssystems für [mm]x_{1,2,3}[/mm] mit Hilfe von [mm]x_4[/mm] aus.
> Wenn
> ich die Lösungsgesamtheit angeben möchte für die
> "eindeutige Lösung", wähle ich einfach ein beliebiges a,
> welches den Ansprüchen genügt ?
Nein, [mm]a[/mm] musst Du als gegeben (aber [mm]\neq 0[/mm]) behandeln. Löse dann das [mm]4\times 4[/mm] System. Diese (eindeutige) Lösung kann eventuell den Parameter [mm]a[/mm] enthalten.
Wenn Du dieses [mm]4\times 4[/mm] für [mm]a\neq 0[/mm] zu lösen versuchst, kannst Du natürlich wieder die erste Gleichung von der letzten subtrahieren: dann erhältst Du die Gleichung [mm]a x_4=a[/mm]. Also (weil [mm]a\neq 0[/mm]) ist [mm]x_4=1[/mm]. (Da dies die einzige Gleichung war, die [mm]a[/mm] enthält, wird die eindeutige Lösung sogar von [mm]a[/mm] unabhängig sein - sofern, wie gesagt, nur [mm]a\neq 0[/mm] ist). Und so weiter und so fort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Somebody,
ich danke dir für die ausführliche Antwort, jetzt ist mir alles klar. Der Tipp, zu schauen, für welches a zwei der Gleichungen identisch sind, gefällt mir. Aber meistens muss ich es ohnehin auf Dreiecksform bringen.
Das mit dem Addieren/Subtrahieren der Zeilen im Vektor habe ich schlichtweg vergessen, ist wohl wirklich schon zu lange her :)
Lieben Gruß,
Dirk
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